[论文解读] Sur quelques représentations potentiellement cristallines de GL_2(Q_p)

Laurent Berger, Christophe Breuil|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 37

一句话总结

该论文为GL₂(ℚₚ)构造了一个p进Banach空间表示B(V)，其关联于在ℚₚ的阿贝尔扩张上成为晶体的、φ-半单的2维绝对不可约p进伽罗瓦表示V。通过(φ,Γ)-模和Wach模理论，证明了B(V)非零、拓扑不可约且可承认，为GL₂(ℚₚ)的p进Langlands对应关系奠定了关键一步。

ABSTRACT

To each 2-dimensional irreducible p-adic representation of Gal(Qpbar/Qp) which becomes crystalline over an abelian extension of Q_p, we associate a Banach space B(V) endowed with a linear continuous unitary action of GL_2(Q_p). When V is moreover phi-semi-simple, we use the (phi,Gamma)-module and the Wach module associated to V to show that the representation B(V) is nonzero, topologically irreducible and admissible.

研究动机与目标

• 为GL₂(ℚₚ)构造一个p进Banach空间表示B(V)，其关联于在ℚₚ上潜在晶体、φ-半单、2维的伽罗瓦表示V。
• 确立B(V)的非零性、拓扑不可约性与可承认性，这些是p进Langlands对应关系中的关键性质。
• 将Wach模理论扩展至潜在晶体情形，并利用它分析B(V)的结构。
• 证明B(V)的对偶与D(V)的投影极限之间存在Borel-等变同构，从而将伽罗瓦表示与GL₂(ℚₚ)表示联系起来。
• 将B(V)具体实现为ℚₚ上的连续函数空间，从而可运用p进函数分析工具。

提出的方法

• 通过GL₂(ℚₚ)不变的稳定格，将代数表示Alg(V)与光滑表示Lisse(V)的张量积的p进完备化构造为B(V)。
• 利用与V关联的(φ,Γ)-模D(V)，通过Borel-等变同构描述B(V)及其对偶的结构。
• 将Wach模理论扩展至潜在晶体情形，以分析滤子φ-模D_cris(V)及其与D(V)的关系。
• 将B(V)表示为ℚₚ上某类连续函数的空间，从而可运用p进函数分析技术。
• 应用局部解析表示理论及Colmez对(φ,Γ)-模的工作，证明不可约性与可承认性。
• 利用ψ-相容有界序列的投影极限lim←ψ D(V)构造B(V)*的对偶表示模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于潜在晶体、φ-半单、2维的伽罗瓦表示V，其关联的p进Banach表示B(V)是否保持非零？
• RQ2 B(V)作为GL₂(ℚₚ)-表示是否为拓扑不可约？
• RQ3 B(V)是否在Schneider和Teitelbaum意义下可承认，即其光滑向量子空间是否为局部有限维？
• RQ4 能否通过ψ-相容有界序列，在B(V)*与D(V)的投影极限之间建立Borel-等变同构？
• RQ5 Wach模理论能否被扩展至潜在晶体情形，以促进对B(V)的分析？

主要发现

• 对于任意在ℚₚ的阿贝尔扩张上成为晶体、且φ-半单的2维绝对不可约p进伽罗瓦表示V，表示B(V)均非零。
• B(V)作为GL₂(ℚₚ)的连续酉表示是拓扑不可约的，即其无非平凡的闭GL₂(ℚₚ)-不变子空间。
• B(V)是可承认的，即B(V)中光滑向量的子空间是局部有限维的，满足p进Langlands计划中表示的关键条件。
• 存在B(V)*与(φ,Γ)-模D(V)中ψ-相容有界序列的投影极限lim←ψ D(V)之间的Borel-等变同构。
• 将B(V)构造为ℚₚ上连续函数的空间，实现了其具体化，从而便于运用p进函数分析工具。
• 将Wach模理论扩展至潜在晶体情形，使得主要结果（特别是B(V)的非零性）得以证明。