[论文解读] Surfaces with p_{g}=q=2 and an irrational pencil

Francesco Zucconi|ArXiv.org|Oct 18, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文分类了所有具有 $p_g = q = 2$ 的一般型曲面的非有理纤维化，证明任何此类 genus $g > 2$ 的纤维化必为等变纤维化。研究发现，此类曲面均为 $C_1 \times C_2 / G$ 的最小解析解消，其中 $G = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$，$C_i$ 为三亏格曲线，并给出了这些纤维化的完整分类，为 Catanese 关于 $p_g = q = 2$ 的曲面的猜想提供了间接证据。此外，结果也通过 GH-曲面理论完成了该不变量范围下非一般型曲面的分类。

ABSTRACT

We classify all the irrational pencils over the surfaces of general type with p=q=2. This classification adds a new evidence to a Catanese conjecture which states that if S has p=q=2 but no irrational pencils then it is the double cover of a P.P. Abelian variety branched on a reduced divisor linearly equivalent to twice a theta divisor.

研究动机与目标

• 对具有 $p_g = q = 2$ 的一般型曲面的所有非有理线性系统进行分类。
• 为 Catanese 猜想提供间接证据，该猜想认为：若此类曲面不具有非有理线性系统，则其为某主极化阿贝尔曲面的双覆盖。
• 通过分析在亏格 2 曲面上的 étale 纤维化，完成对 $p_g = q = 2$ 且非 Albanese 一般型的曲面的分类。
• 应用等变纤维化理论与曲面上群作用的技术，对所有可能的此类纤维化进行分类。

提出的方法

• 利用 Simpson 关于子集 $V^1(X) = \{L \in \mathrm{Pic}^0(X) \mid h^1(X, -L) \geq 0\}$ 的理论，分析线丛与上同调消去性质。
• 应用 [Ca1] 和 [Z2] 中关于等变纤维化的结果，对具有 $p_g = q = 2$ 的曲面上 genus $g > 2$ 的纤维化进行分类。
• 利用 Bolza 对 $G$-作用在亏格 2 曲面上的分类，将非一般型曲面分类为 $C' \times F$ 关于对角 $G$-作用的商曲面。
• 利用 canonical 映射 $\phi_{|K_S|}: S \to \mathbb{P}^1$ 研究纤维化的通纤维，并计算其亏格。
• 分析 Albanese 映射的结构及其纤维类型，证明一般型曲面中仅可能有亏格 1 的基曲线。
• 应用轨道丛正合列与基本群扩张，将非一般型曲面的模空间描述为 $\mathcal{M}(\Pi, 4)$，其中指定群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $p_g = q = 2$ 的一般型曲面上，非有理纤维化的可能类型有哪些？
• RQ2 此类曲面上是否存在非等变纤维化？若存在，其条件为何？
• RQ3 这些纤维化与 Catanese 关于主极化阿贝尔曲面双覆盖的猜想有何关联？
• RQ4 此类纤维化下，canonical 映射的通纤维的结构如何？
• RQ5 如何对具有 $p_g = q = 2$ 的曲面的完整模空间进行分类，包括非一般型情形？

主要发现

• 在具有 $p_g = q = 2$ 的一般型曲面上，任意 genus $g > 2$ 的非有理线性系统必为等变纤维化。
• 若曲面 $S$ 满足 $p_g = q = 2$ 且具有 genus $g > 2$ 的等变纤维化，则其为 $C_1 \times C_2 / G$ 的最小解析解消，其中 $G = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$，$C_i$ 为三亏格曲线，且 $C_i \to E_i = C_i/G$ 是关于椭圆曲线 $E_i$ 上两点分支的伽罗瓦覆盖。
• 此类曲面上 canonical 映射的通纤维亏格为 9，由两个在四点相交的三亏格曲线经光滑化得到。
• 对于亏格 2 纤维化，$S$ 是 $Y = E_1 \times E_2$ 的双覆盖的正规化，分支于一个约化除子 $D \in |2\pi_1^*(P_1) + 2\pi_2^*(P_2)|$，且 canonical 映射的通纤维亏格为 5。
• 通过 GH-曲面理论完成了 $p_g = q = 2$ 的非一般型曲面的分类，表明每个不可约模空间分量均为 $\mathcal{M}(\Pi, 4)$，其中 $\Pi$ 是满足特定群扩张的群，$G$ 分别作用于亏格 2 与亏格 3 曲面。
• 共有 21 种类型 $(C, G)$，其中 $C$ 为亏格 2 曲面，$G \subset \mathrm{Aut}(C)$，$C/G = \mathbb{P}^1$，其中国 15 种可延拓，6 种已明确列出其群作用与单值性数据。