[论文解读] Surjective Kuiper isometries

György Pál Gehér|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文表征了在 ℝ 上的博雷尔概率测度空间上关于库珀距离的满射等距同构，证明此类等距同构由 ℝ 的同胚诱导。对于连续和绝对连续测度，这些等距同构由同胚的前推给出；对于一般测度，它们由实直线上的保测度同胚诱导。

ABSTRACT

Characterizations of surjective isometries with respect to the Kuiper distance on three classes of Borel probability measures of $\mathbb{R}$ (or equivalently, probability distribution functions) are presented here. These classes are the set of continuous, absolute continuous and general measures.

研究动机与目标

• 表征 ℝ 上博雷尔概率测度空间在库珀距离下的满射等距同构。
• 扩展多林纳与莫尔纳尔关于统计距离下等距同构的研究路线，现聚焦于库珀度量。
• 确定三类测度下等距同构的结构：连续、绝对连续和一般博雷尔概率测度。
• 表明凸组合的不变性是此类等距同构的结果，而非假设。
• 解决莫尔纳尔关于这些测度空间上库珀等距同构群结构的疑问。

提出的方法

• 将库珀距离定义为 $ d_{Ku}\left(\nu,\nu\right) = \sup_{I \in \mathcal{I}} |\mu(I) - \nu(I)| $，其中 $ \mathcal{I} $ 为非退化区间的集合。
• 利用库珀距离与分布函数上的柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫距离的等价性，以利用已知的可测性结果。
• 证明满射库珀等距同构保持测度的支撑结构，特别是对狄拉克测度和连续测度而言。
• 通过库珀拓扑下的可测性论证，证明等距同构必须保持纯离散测度的集合。
• 构造一个同胚 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $，使得 $ \phi(\mu) = \mu \circ f^{-1} $，表明所有此类等距同构均由同胚的测度传输诱导。
• 利用分布函数的结构以及测度在区间上的行为，推导出等距同构由基底空间的同胚诱导。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝ 上连续博雷尔概率测度空间中，关于库珀距离的满射等距同构具有何种结构？
• RQ2 在库珀度量下，绝对连续测度上的满射等距同构与一般测度上的等距同构有何不同？
• RQ3 库珀等距同构下凸组合的不变性能否作为结果推导，而非作为假设？
• RQ4 纯离散测度在库珀距离下的可测性在表征一般库珀等距同构中起何种作用？
• RQ5 库珀等距同构在 $ P(\mathbb{R}) $ 上在多大程度上源于实直线的同胚？

主要发现

• 对于连续博雷尔概率测度空间 $ P_c(\mathbb{R}) $，每个满射库珀等距同构的形式为 $ \phi(\mu) = \mu \circ (g \circ r_x) $，其中 $ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 为某个同胚，且 $ x \in \mathbb{R} \cup \{\infty\} $，$ r_x $ 为关于 $ x $ 的反演映射。
• 在 $ P_c(\mathbb{R}) $ 的情形下，参数 $ x \in \mathbb{R} $ 在支撑保持条件下导致矛盾，因此仅允许 $ x = \infty $，这意味着 $ \phi(\mu) = \mu \circ g $，其中 $ g $ 为某个同胚。
• 对于 $ P_{ac}(\mathbb{R}) $，等距同构再次由同胚 $ g $ 诱导，即 $ \phi(\mu) = \mu \circ g $，且 $ g $ 保持测度空间的结构。
• 对于整个空间 $ P(\mathbb{R}) $，每个满射库珀等距同构的形式为 $ \phi(\mu) = \mu \circ f^{-1} $，其中 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 为某个同胚，意味着等距同构由实直线上的保测度变换诱导。
• 该等距同构保持狄拉克测度结构：$ \phi(\delta_x) = \delta_{f(x)} $，因此 $ f $ 为同胚。
• 在库珀距离下，纯离散测度在 $ P(\mathbb{R}) $ 中的可测性被用于证明等距同构必须固定所有离散测度，从而得出等距同构由基底空间的同胚诱导的结论。