[论文解读] Sylvester's law of inertia for quadratic forms on vector bundles

Giacomo Dossena|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Microtubule and mitosis dynamics参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文将西尔维斯特惯性定律推广至连通、局部连通、仿紧的豪斯多夫空间上的实向量丛上的非退化二次型。它引入了在规范群作用下的两个不变量：全规范群作用下的正交标架丛的同构类，以及单位分支规范群作用下极大正定子丛的同伦类，后者提供了比惯性更精细的分类。

ABSTRACT

This paper presents a generalisation of Sylvester's law of inertia to real non-degenerate quadratic forms on a fixed real vector bundle over a connected locally connected paracompact Hausdorff space. By interpreting the classical inertia as a complete discrete invariant for the natural action of the general linear group on quadratic forms, the simplest generalisation consists in substituting such group with the group of gauge transformations of the bundle. Contrary to the classical law of inertia, here the full action and its restriction to the identity path component typically have different orbits, leading to two invariants: a complete invariant for the full action is given by the isomorphism class of the orthonormal frame bundle associated to a quadratic form, while a complete invariant for the restricted action is the homotopy class of any maximal positive-definite subbundle associated to a quadratic form. The latter invariant is finer than the former, which in turn is finer than inertia. Moreover, the orbit structure thus obtained might be used to shed light on the topology of the space of non-degenerate quadratic forms on a vector bundle.

研究动机与目标

• 将西尔维斯特惯性定律从有限维向量空间推广至实向量丛上的非退化二次型。
• 确定规范群作用于向量丛上非退化二次型空间时的完整离散不变量。
• 阐明全规范群与其中心分支在非退化二次型空间上的轨道结构差异，该差异源于拓扑复杂性。
• 通过这些不变量为研究向量丛上非退化二次型空间的拓扑提供一个框架。

提出的方法

• 将西尔维斯特惯性定律重新表述为在有限维向量空间上二次型的广义线性群作用下的完整不变量。
• 通过将广义线性群替换为丛自同构的规范群，将此表述推广至向量丛。
• 定义两个不变量：全规范群作用下的正交标架丛同构类，以及单位分支规范群作用下极大正定子丛的同伦类。
• 利用同伦理论与丛分裂技巧，将子丛的同伦类与单位分支规范群作用下的轨道等价性联系起来。
• 证明非退化二次型空间的路连通分支恰好对应于单位分支规范群作用下的轨道。
• 证明单个全规范群轨道中的路连通分支数受商群 Gau(E)/Gau₀(E) 的路连通分支数的上界限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将西尔维斯特惯性定律推广至向量丛上的二次型，其中结构群为规范群而非 GL(n)？
• RQ2 为何全规范群作用与其中心分支在非退化二次型空间上的轨道结构不同？
• RQ3 哪些完整离散不变量可分类全规范群作用于向量丛上非退化二次型的轨道？
• RQ4 哪些完整离散不变量可分类单位分支规范群作用于此类二次型的轨道？
• RQ5 极大正定子丛的同伦类与单位分支规范群作用下的轨道结构有何关系？

主要发现

• 与二次型相关的正交标架丛的同构类是规范群全作用下向量丛上非退化二次型的完整不变量。
• 与二次型相关的任意极大正定子丛的同伦类是单位分支规范群作用下的完整不变量。
• 同伦类不变量比正交标架丛同构类更精细，而后者又比经典惯性 (n₊, n₋) 更精细。
• 非退化二次型空间的路连通分支恰好是单位分支规范群作用下的轨道。
• 单个全规范群轨道中的路连通分支数受商群 Gau(E)/Gau₀(E) 的路连通分支数的上界限制。
• 同一全规范群轨道中的任意两个路连通分支彼此同胚，因为规范群作用在它们之间诱导了同胚映射。