[论文解读] Symbolic dynamics for the Teichmueller flow

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用 10

一句话总结

该论文为具有 m 个 punctures 的亏格 g 表面的二次微分与阿贝尔微分的 strata 上的 Teichmüller 流构建了符号动力系统，其中 3g−3+m>1。通过引入一个有限型子移位和一个 Borel 悬垂，建立了与 Teichmüller 流的有限对一半共轭，证明了勒贝格测度是唯一最大熵测度，并推导出周期轨道的渐近增长速率与指数混合性质。

ABSTRACT

Let S be an oriented surface of genus g with m punctures and 3g-3+m>1. For each component of a stratum in the moduli space of quadratic or abelian differentials, we construct a subshift of finite type and a Borel suspension which admits a finite-to-one semi-conjugacy into the Teichmueller flow on Q. This is used to show that the Lebesgue measure on Q is the unique measure of maximal entropy. If h is the entropy of the Lebesgue measure, then for every a>0 there is a compact subset K of Q such that the entropy of an invariant Borel probability measure on Q-K does not exceed h-1+a. Moreover, the growth rate of periodic orbits in Q-K does not exceed h-1+a$. This implies that the number of periodic orbits in Q of period at most R is asymptotic to exp(hR)/hR.Finally we give a unified and simplified proof of exponential mixing for the Lebesgue measure on strata.

研究动机与目标

• 为亏格 g 表面、具有 m 个 punctures 且满足 3g−3+m>1 的二次微分与阿贝尔微分的 strata 上的 Teichmüller 流建立符号编码。
• 证明 stratum 上的勒贝格测度是 Teichmüller 流的唯一最大熵测度。
• 分析 stratum 的紧子集之外的周期轨道的熵与增长速率。
• 为 strata 上勒贝格测度的指数混合性质提供统一且简化的证明。

提出的方法

• 构建一个有限型子移位，以模拟 stratum 每个连通分支上 Teichmüller 流的动力学。
• 在子移位上定义一个 Borel 悬垂，以实现与 Teichmüller 流的半共轭。
• 利用有限对一的半共轭，将符号系统中的熵与周期轨道增长性质传递到 Teichmüller 流。
• 应用符号模型，对 stratum 补集上不变测度的熵进行界定。
• 利用熵界推导出周期至多为 R 的周期轨道数量的渐近估计。
• 利用符号结构简化并统一证明勒贝格测度的指数混合性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二次或阿贝尔微分的 stratum 上，勒贝格测度是否是 Teichmüller 流的唯一最大熵测度？
• RQ2 在 stratum 的紧子集补集上，不变测度的熵如何衰减？
• RQ3 在 stratum 中，周期至多为 R 的周期轨道数量的渐近增长速率是多少？
• RQ4 能否通过符号动力系统以统一且简化的方式证明 strata 上勒贝格测度的指数混合性质？
• RQ5 该符号模型在多大程度上捕捉了 Teichmüller 流的遍历与动力性质？

主要发现

• 每个 stratum 上的勒贝格测度是 Teichmüller 流的唯一最大熵测度。
• 对任意 a>0，存在 stratum 的一个紧子集 K，使得任意在 Q−K 上的不变测度的熵至多为 h−1+a，其中 h 是勒贝格测度的熵。
• 在 Q−K 中，周期轨道的增长速率上界为 exp((h−1+a)R)，这意味着周期至多为 R 的周期轨道总数渐近等价于 exp(hR)/(hR)。
• 在 stratum 中，周期至多为 R 的周期轨道数量渐近等价于 exp(hR)/(hR)，其中 h 是勒贝格测度的拓扑熵。
• 本文为二次微分与阿贝尔微分 strata 上勒贝格测度的指数混合性质提供了统一且简化的证明。
• 通过有限型子移位与 Borel 悬垂构建的符号模型，能够对熵与周期轨道增长实现精确控制，从而得出强有力的动力系统结论。