[论文解读] Symmetric cones, the Hilbert and Thompson metrics

Aurélien Bosché|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文利用欧几里得 Jordan 代数，对对称锥上的希尔伯特度量和汤普森度量的等距群进行了完整分类。结果表明，虽然锥的自同构总是等距，但仅在特定情况下存在额外的等距——即一秩锥、ℝ²中的正象限，以及维度≥3的不可约洛伦兹锥——此时在单位元处的测地线反演是一个不被线性自同构诱导的等距。

ABSTRACT

Symmetric cones can be endowed with at least two interesting non Riemannian metrics: the Hilbert and the Thompson metrics. It is trivial that the linear maps preserving the cone are isometries for those two metrics. Oddly enough those are not the only isometries in general. We give here a full description of the isometry groups for both the Hilbert and the Thompson metrics using essentially the theory of euclidean Jordan algebras. Those results were already proved for the symmetric cone of complexe positive hermitian matrices by L. Moln{á}r. In this paper however we do not make any assumption on the symmetric cone under scrutiny (it could be reducible and contain exceptional factors).

研究动机与目标

• 表征对称锥上希尔伯特度量和汤普森度量的完整等距群。
• 确定等距群严格大于锥的自同构群的条件。
• 将先前关于复正定矩阵的结果推广至一般对称锥，包括可约和例外情形。
• 分析测地线反演及其射影性在确定等距结构中的作用。
• 研究是否保持谱范数和迹的等距必为线性且保持 Jordan 代数结构。

提出的方法

• 利用对称锥与欧几里得 Jordan 代数之间的对应关系，分析度量等距。
• 应用 Jordan 代数中元素的谱分解：对 $ x = \sum \lambda_i p_i $，特征值 $ \lambda_i $ 决定 $ \exp(x) $、$ \text{Tr}(x) $ 和 $ \|x\| $。
• 定义汤普森度量 $ d_T(P,Q) = \log \max(M(P,Q), M(Q,P)) $ 和希尔伯特度量 $ d_H(P,Q) = \log(M(P,Q)M(Q,P)) $，其中 $ M(P,Q) = \inf\{ t > 0 \mid tQ - P \in \mathcal{C} \} $。
• 通过 Jordan 构架分解分析测地线反演 $ u \mapsto u^{-1} $ 的行为，并证明其仅在低秩情形为射影。
• 使用反证法结合射线收敛性：若反演为射影，则收敛于 $[e_1]$ 的序列的逆射线应收敛于同一极限，但实际并非如此。
• 利用 Mazur-Ulam 定理推导出保持 $ \|\cdot\|_\sigma $ 和迹的等距的线性性，并分析其在分解 $ J = J_0 \oplus \mathbb{R}e $ 上的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种情况下，希尔伯特或汤普森度量的等距群严格大于对称锥的自同构群？
• RQ2 在何种条件下，单位元处的测地线反演是希尔伯特或汤普森度量的等距？
• RQ3 对秩≥3的对称锥，反演映射是否为射影？
• RQ4 保持谱半范数 $ \|\cdot\|_\sigma $ 和迹的等距是否必然保持 Jordan 代数结构？
• RQ5 能否从度量不变性推导出可同时对角化的对保持，还是必须额外假设？

主要发现

• 汤普森度量的等距群等于自同构群 $ \text{Aut}(\mathcal{C}) $ 当且仅当对称锥不是一条半直线、ℝ²中的正象限，或维度≥3的不可约洛伦兹锥。
• 在一秩锥、ℝ²中的正象限，以及维度≥3的不可约洛伦兹锥中，单位元处的测地线反演是一个不被任何线性自同构诱导的等距。
• 对秩≥3的对称锥，反演不是射影的，这由边界附近逆序列的射线极限不重合所证明。
• 反演映射无法连续延拓至锥的边界，表明等距不必然保持拓扑边界。
• 保持 $ \|\cdot\|_\sigma $ 和迹的等距必为线性，并保持分解 $ J = J_0 \oplus \mathbb{R}e $，这意味着它们或是 Jordan 同构，或在与映射 $ (x_0, \lambda) \mapsto (-x_0, \lambda) $ 复合后成为 Jordan 同构。
• 同时对角化对的保持并非由度量不变性自动推出；必须单独假设或推导。