[论文解读] Symmetric form of governing equations for capillary fluids

Sergey Gavrilyuk, Henri Gouin|ArXiv.org|Feb 12, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文通过将经典双曲性理论扩展至内能依赖于密度梯度的色散系统，提出了一类毛细流体的新型对称控制方程形式。该方法引入了一个涉及厄米特矩阵 $ B + iC $ 的复值色散关系，确保了实特征频率并证明了常数解的稳定性，关键结果在欧拉和拉格朗日框架下均通过变分原理和能量守恒推导得出。

ABSTRACT

In classical continuum mechanics, quasi-linear systems of conservation laws can be symmetrized if they admit an additional convex conservation law. In particular, this implies the hyperbolicity of governing equations. For capillary fluids, the internal energy depends not only on the density but also on its derivatives with respect to space variables. Consequently, the governing equations belong to the class of dispersive systems. In that case we propose a symmetric form of governing equations which is different from the classical Godunov -Friedrichs - Lax representation. This new symmetric form implies the stability of constant solutions.

研究动机与目标

• 将对称双曲性框架扩展至毛细流体，其色散性源于依赖于密度梯度的内能。
• 建立控制方程的对称形式，确保在存在毛细作用时的双曲性及常数解的稳定性。
• 推导出包含反对称矩阵 $ C $ 的修正色散关系，推广经典 Godunov–Friedrichs–Lax 形式。
• 在欧拉和拉格朗日表述中均证明能量守恒与线性化稳定性。

提出的方法

• 从哈密顿原理出发，基于毛细流体能量泛函 $ e = \varepsilon(\rho, \eta) + \frac{c}{2}|\nabla\rho|^2 $ 推导控制方程，其中 $ c $ 为毛细系数。
• 通过将 $ \mathbf{w} = \nabla\rho $ 视为独立变量，引入扩充的守恒律系统，从而实现对称双曲结构。
• 构建形式为 $ A\partial_t\mathbf{v} + \sum_i B^i \partial_{x^i}\mathbf{v} = 0 $ 的对称双曲系统，其中 $ A $ 正定且 $ B^i $ 对称，但将其修改为包含复色散关系 $ \det(B + iC - \lambda A) = 0 $。
• 利用拉格朗日坐标推导一维系统，其含二阶空间导数，导出定义对称形式的矩阵 $ A $、$ B_1 $ 和 $ C_1 $。
• 应用泊松括号与变分导数，推导出以通量散度形式表示的能量守恒定律，确保热力学一致性。
• 证明由于 $ A $ 正定且 $ B + iC $ 为厄米特矩阵，修正色散关系的特征值 $ \lambda $ 为实数，从而表明谱稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典对称双曲性框架能否扩展至内能依赖于密度空间梯度的色散毛细流体？
• RQ2 毛细作用的引入是否导致一种与 Godunov–Friedrichs–Lax 表示不同的新型对称形式？
• RQ3 毛细流体的色散关系形式为何？其是否保证实频率及常数解的稳定性？
• RQ4 在毛细流体的对称双曲形式中，如何保持能量守恒？
• RQ5 对于一般内能函数，该对称形式能否在欧拉和拉格朗日坐标系中一致推导？

主要发现

• 毛细流体的控制方程可表示为具有复色散关系 $ \det(B + iC - \lambda A) = 0 $ 的对称双曲形式，其中 $ C $ 为反对称矩阵，确保了实特征频率。
• 矩阵 $ C $ 显式构造为 $ C = -\rho_e \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{0}^* & \mathbf{0}^* \\ \mathbf{0} & \mathbf{O} & -\mathbf{kk}^* \\ \mathbf{0} & \mathbf{kk}^* & \mathbf{O} \end{pmatrix} $，其中 $ \mathbf{O} $ 为零矩阵。
• 对称形式意味着双曲性及常数解在扰动 $ e^{i(\mathbf{k}^*\mathbf{x} - \lambda t)} $ 下的谱稳定性，因为所有 $ \lambda $ 均为实数。
• 在一维拉格朗日表述中，系统形式为 $ A\partial_t\mathbf{v} + B_1\partial_z\mathbf{v} + C_1\partial_{zz}\mathbf{v} = 0 $，其中 $ A $、$ B_1 $ 和 $ C_1 $ 显式定义，色散关系变为 $ \det(kB_1 + k^2 C_1 - \lambda A) = 0 $。
• 能量守恒以 $ (\cdots)_t + \mathrm{div}(\cdots) = 0 $ 形式保持，通量项包含类似泊松括号的结构。
• 该方法可推广至其他系统（如气泡液体），其中内能依赖于密度的时间导数，表明其具有广泛适用性。