[论文解读] Symmetric polynomials and divided differences in formulas of intersection theory

Piotr Pragacz|ArXiv.org|May 28, 1996

Mathematics and Applications被引用 13

一句话总结

本文利用对称多项式与差分算子，构建了一个全面的框架，推导出代数交点理论中的显式公式。研究提供了关于Schur丛的陈类与塞雷类、退化点簇及Gysin映射的新证明与新公式，主要贡献包括：提出了一种关于Schur Q-多项式前推的新公式，以及通过Schur复形对Giambelli-Thom-Porteous公式的新推导。

ABSTRACT

The goal of the paper is two-fold. At first, we attempt to give a survey of some recent applications of symmetric polynomials and divided differences to intersection theory. We discuss: polynomials universally supported on degeneracy loci; some explicit formulas for the Chern and Segre classes of Schur bundles with applications to enumerative geometry; flag degeneracy loci; fundamental classes, diagonals and Gysin maps; intersection rings of G/P and formulas for isotropic degeneracy loci; numerically positive polynomials for ample vector bundles. Apart of surveyed results, the paper contains also some new results as well as some new proofs of earlier ones: how to compute the fundamental class of a subvariety from the class of the diagonal of the ambient space; how to compute the class of the relative diagonal using Gysin maps; a new formula for pushing forward Schur's Q- polynomials in Grassmannian bundles; a new formula for the total Chern class of a Schur bundle; another proof of Schubert's and Giambelli's enumeration of complete quadrics; an operator proof of the Jacobi-Trudi formula; a Schur complex proof of the Giambelli-Thom-Porteous formula.

研究动机与目标

• 系统化近期对称多项式与差分算子在交点理论中的应用。
• 为枚举几何中Schur丛的陈类与塞雷类提供显式公式。
• 开发计算旗丛与正交退化点簇的基本类与对角类的新方法。
• 统一并拓展关于G/P空间交点环中Schubert微积分与正性结果的现有成果。
• 提出新证明与新公式，包括雅可比-特鲁迪恒等式与Giambelli-Thom-Porteous公式。

提出的方法

• 利用对称多项式作为在退化点簇上构造类的通用工具。
• 应用差分算子计算周围空间中的基本类与对角类。
• 通过算子理论方法，利用Schur复形推导Giambelli-Thom-Porteous公式。
• 提出在Grassmannian丛中前推Schur Q-多项式的新公式。
• 应用Gysin映射计算纤维构造中相对对角类。
• 使用算子技巧重新证明经典恒等式，如雅可比-特鲁迪公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地应用对称多项式与差分算子来计算交点理论不变量？
• RQ2 利用对称多项式技术，Schur丛的总陈类会涌现出哪些新公式？
• RQ3 如何从周围空间的对角类重构子簇的基本类？
• RQ4 Schur复形在推导Giambelli-Thom-Porteous公式中起什么作用？
• RQ5 算子理论方法能否为雅可比-特鲁迪公式等经典恒等式提供新证明？

主要发现

• 推导出在Grassmannian丛中前推Schur Q-多项式的新公式，拓展了Schubert微积分中的已知结果。
• 提出Schur丛总陈类的新公式，为特征类提供对称多项式方法。
• 通过Gysin映射，从周围空间的对角类计算出子簇的基本类。
• 基于Schur复形，给出Giambelli-Thom-Porteous公式的证明，提供新的几何解释。
• 建立雅可比-特鲁迪公式的算子理论证明，将对称函数与交点理论联系起来。
• 通过对称函数恒等式，为利用Schubert与Giambelli公式枚举完全二次曲面提供另一重证明。