[论文解读] Symmetrization of Rational Maps: Arithmetic Properties and Families of Latt\\`es Maps of $\\mathbb P^k$

Thomas Gauthier, Benjamin Hutz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过 $\mathbb{P}^1$ 上有理映射的对称积，研究复射影空间 $\mathbb{P}^k$ 的自同态，建立了一种构造方法，通过商映射 $(\mathbb{P}^1)^k / \mathfrak{S}_k \cong \mathbb{P}^k$ 将映射 $f \in \mathrm{Hom}_d(\mathbb{P}^1)$ 提升为 $F \in \mathrm{Hom}_d(\mathbb{P}^k)$。主要贡献在于对 $k$-深后临界有限映射的刻画，以及对高维 Latt\'es 映射族的分类，表明对称积 Latt\'es 映射要么是刚性的，要么位于三维模空间族中的 1 维子族中。

ABSTRACT

In this paper we study properties of endomorphisms of $\\p^k$ using a symmetric product construction $(\\p^1)^k/\\mathfrak{S}_k \\cong \\p^k$. Symmetric products have been used to produce examples of endomorphisms of $\\p^k$ with certain characteristics, $k\\geq2$. In the present note, we discuss the use of these maps to enlighten stability phenomena in parameter spaces. In particular, we study $k$-deep post-critically finite maps and characterize families of Latt\\`es maps.

研究动机与目标

• 通过 $\mathbb{P}^1$ 有理映射的对称积构造，理解 $\mathbb{P}^k$ 上自同态的动力学。
• 通过 $k$-深后临界有限映射分析自同态参数空间中的稳定性现象。
• 利用对称积提升，对 $\mathbb{P}^k$（$k \geq 2$）中的 Latt\'es 映射族进行分类。
• 确定对称积 Latt\'es 映射在模空间中是否为刚性，或位于正维数族中。

提出的方法

• 通过 $\mathfrak{S}_k$-作用下的商映射 $\eta_k: (\mathbb{P}^1)^k \to \mathbb{P}^k$，将有理映射 $f: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ 的对称积构造为 $\mathbb{P}^k \to \mathbb{P}^k$ 的自同态 $F$。
• 利用包含 $f^k$ 和 $F$ 的交换图，将对称积映射 $F$ 定义为在商空间上的诱导映射。
• 通过归纳定义 $j$-深后临界有限映射：要求第 $j$ 个临界流形的正向轨道是纯余维数为 $j+1$ 的代数集。
• 应用 $\mathbb{P}^2$ 中 Latt\'es 映射的已知分类结果（Rong Feng 的工作）来分析二维情形下的对称积 Latt\'es 映射。
• 利用定理 7 推出：当基映射 $f$ 为刚性时，对称积 Latt\'es 映射是刚性的。
• 分析对称积 Latt\'es 映射族的模空间维数，表明对称积的最大子族在模空间中维数为 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathbb{P}^1$ 上的 Latt\'es 映射的对称积在 $\mathbb{P}^k$ 上为刚性 Latt\'es 映射时，其成立的条件是什么？
• RQ2 对于 $k \geq 2$，$\mathbb{P}^k$ 中对称积 Latt\'es 映射的模空间结构是怎样的？
• RQ3 $k$-深后临界有限映射如何与高维 Latt\'es 映射的动力学及模空间相关联？
• RQ4 对称积 Latt\'es 映射能否被 $\mathbb{P}^2$ 中保持代数网的映射逼近？
• RQ5 是什么决定了对称积 Latt\'es 映射位于正维数族中，还是在模空间中孤立存在？

主要发现

• 定理 7 表明，$\mathbb{P}^1$ 上刚性 Latt\'es 映射的对称积在 $\mathbb{P}^k$ 上仍为刚性 Latt\'es 映射。
• 在 $\mathbb{P}^2$ 中，对称积 Latt\'es 映射要么是刚性的，要么属于三维 Latt\'es 映射模空间族中的 1 维子族，如推论 4.2 所示。
• 当 $k=2$ 时，对称积 Latt\'es 映射 $F$ 要么是刚性的，要么可被保持光滑三次曲线关联代数网的映射逼近。
• $\mathbb{P}^1$ 上柔性族 $f_\lambda$ 的 2 重对称积族构成 $\mathbb{P}^2$ 中柔性 Latt\'es 映射 3 维族中的 1 维子族，证实了 1 维子族结构。
• 显式例子表明，Milnor 在 $\mathbb{P}^1$ 上的度数为 2 的刚性 Latt\'es 映射的 2 重对称积在 $\mathbb{P}^2$ 上生成刚性 Latt\'es 映射，其 3 重对称积在 $\mathbb{P}^3$ 上也生成刚性 Latt\'es 映射，且均具有显式齐次多项式公式。
• 该构造确保对称积映射 $F$ 是 $\mathbb{P}^k$ 的自同态，且其动力学特性反映基映射 $f$ 在 $\mathbb{P}^1$ 上的动力学。