[论文解读] Symmetry of minimizers with a level surface parallel to the boundary

Giulio Ciraolo, Rolando Magnanini+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文证明，若变分泛函 $\mathcal{I}_{\Omega}(v) = \int_{\Omega}[f(|Dv|) - v]\,dx$ 的极小化元在某水平集平行于边界 $\partial\Omega$ 时，有界区域 $\Omega$ 必为球形。在 $f$ 具有正则性与凸性的假设下，作者通过在粘性解框架下对完全非线性椭圆与抛物型方程应用平移平面法，证明了球面对称性，推广了以往要求极小化元具有完全径向对称性的结果。

ABSTRACT

We consider the functional $$I_Ω(v) = \int_Ω[f(|Dv|) - v] dx,$$ where $Ω$ is a bounded domain and $f$ is a convex function. Under general assumptions on $f$, G. Crasta [Cr1] has shown that if $I_Ω$ admits a minimizer in $W_0^{1,1}(Ω)$ depending only on the distance from the boundary of $Ω$, then $Ω$ must be a ball. With some restrictions on $f$, we prove that spherical symmetry can be obtained only by assuming that the minimizer has one level surface parallel to the boundary (i.e. it has only a level surface in common with the distance). We then discuss how these results extend to more general settings, in particular to functionals that are not differentiable and to solutions of fully nonlinear elliptic and parabolic equations.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，当变分泛函的极小化元具有平行于 $\partial\Omega$ 的水平集时，区域 $\Omega$ 必为球形。
• 通过仅假设极小化元在某一层面上为常数（而非要求其完全径向对称），推广 Crasta 的结果（其结果要求极小化元为径向函数，即“web-function”）。
• 在弱比较原理与边界点性质的假设下，建立一般完全非线性椭圆与抛物型方程的对称性结果。
• 将平移平面法应用于非可微或退化的泛函，包括与 eikonal 方程相关的泛函。
• 在区域与拉格朗日函数 $f$ 的正则性要求最低的条件下，将对称性结果推广至粘性解。

提出的方法

• 作者分析了在 $W^{1,\infty}_0(\Omega)$ 中泛函 $\mathcal{I}_{\Omega}(v) = \int_{\Omega}[f(|Dv|) - v]\,dx$ 的极小化元，假设 $f$ 为凸函数，$C^1$ 光滑，且满足特定的增长与正则性条件。
• 假设极小化元 $u$ 在 $\Gamma_\delta = \{x \in \Omega : d(x) = \delta\}$ 的管状邻域内为 $C^1$ 光滑，且在 $\Gamma_\delta$ 上为常数，即 $u = c > 0$ 在 $\Gamma_\delta$ 上成立。
• 证明依赖于平移平面法，该方法要求二阶导数 $f''$ 在 $s > \sigma$ 时为正且 Hölder 连续，以保证相关PDE的足够正则性。
• 该泛函与完全非线性PDE $F(u, Du, D^2u) = 0$ 在粘性意义下相关联，对称性通过比较原理（弱比较原理WCP、强比较原理SCP、边界点性质BPP）推导得出。
• 通过考虑满足 $u_t - F(u, Du, D^2u) = 0$ 且具有狄利克雷边界条件的时间依赖解 $u(x,t)$，将方法推广至抛物型方程。
• 当 $F$ 关于反射具有不变性（IR）时，且通过比较原理可保证在时间 $t^*$ 处存在常数水平集，则可推出 $\Omega$ 为球形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极小化元存在一个平行于边界的水平集，可推出区域为球形？
• RQ2 对称性结果能否推广至极小化元非径向但仅有一个水平面平行于边界的泛函？
• RQ3 平移平面法在非可微或退化泛函（如与 eikonal 方程相关者）中可应用到何种程度？
• RQ4 比较原理（WCP、SCP、BPP）与反射不变性（IR）如何在一般非线性PDE中促成对称性结论？
• RQ5 对称性结果能否推广至具有空间-时间中静态水平面的抛物型方程？

主要发现

• 若泛函 $\mathcal{I}_{\Omega}(v)$ 的极小化元 $u$ 在 $\Gamma_\delta$ 附近为 $C^1$ 光滑且在 $\Gamma_\delta$ 上为常数，则 $\Omega$ 必为球形，即使不假设 $u$ 具有径向对称性。
• 该结果在最小假设下成立：$f$ 为凸、$C^1$、非减，满足 $f(0) = 0$，且当 $s \to \infty$ 时 $f(s)/s \to \infty$；$f'' > 0$ 在 $C^{2,\alpha}$ 中对 $s > \sigma \geq 0$ 成立，且 $f'$ 在 $[0,\sigma]$ 上为零。
• 平移平面法适用于完全非线性椭圆方程 $F(u, Du, D^2u) = 0$ 的粘性解，当满足 (IR)、在 $\Omega$ 上的 (WCP)，以及在 $\Gamma_\delta$ 邻域上的 (SCP) 与 (BPP) 时，可推出 $\Omega$ 为球形。
• 对抛物型方程 $u_t - F(u, Du, D^2u) = 0$，若存在某 $t^* \in (0,T)$ 使得 $u = c$ 在 $\Gamma_\delta \times \{t^*\}$ 上成立，则在 $F$ 的相同结构假设下，$\Omega$ 必为球形。
• 结果可推广至 $f$ 在 $p=0$ 处不可微的情形，如定理 3.6 所示，通过将方法适配至与复值 eikonal 解相关的非光滑拉格朗日函数。
• 对称性结论具有鲁棒性：即使 $\partial\Omega$ 不光滑，只要 $\Gamma_\delta$ 为 $C^1$ 且满足内球条件，结论仍成立。