[论文解读] Syndrome decoding by quantum approximate optimization

Ching–Yi Lai, Kao-Yueh Kuo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于求解经典与量子纠错码中 NP 难的伴随式译码问题的量子近似优化算法（QAOA）。通过引入基于生成器和校验的代价哈密顿量，引导 QAOA 找到与给定伴随式匹配的低权重错误。在四层 QAOA 下，该方法在 [[5,1,3]] 和 [7,4,3] 代码上实现了接近最大似然性能，并具备固有的退简度处理能力，在高噪声率下性能优于经典译码。

ABSTRACT

The syndrome decoding problem is known to be NP-complete. The goal of the decoder is to find an error of low weight that corresponds to a given syndrome obtained from a parity-check matrix. We use the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) to address the syndrome decoding problem with elegantly-designed reward Hamiltonians based on both generator and check matrices for classical and quantum codes. We evaluate the level-4 check-based QAOA decoding of the [7,4,3] Hamming code, as well as the level-4 generator-based QAOA decoding of the [[5,1,3]] quantum code. Remarkably, the simulation results demonstrate that the decoding performances match those of the maximum likelihood decoding. Moreover, we explore the possibility of enhancing QAOA by introducing additional redundant clauses to a combinatorial optimization problem while keeping the number of qubits unchanged. Finally, we study QAOA decoding of degenerate quantum codes. Typically, conventional decoders aim to find a unique error of minimum weight that matches a given syndrome. However, our observations reveal that QAOA has the intriguing ability to identify degenerate errors of comparable weight, providing multiple potential solutions that match the given syndrome with comparable probabilities. This is illustrated through simulations of the generator-based QAOA decoding of the [[9,1,3]] Shor code on specific error syndromes.

研究动机与目标

• 利用近期量子算法解决经典与量子纠错码中的 NP 难伴随式译码问题。
• 基于生成器矩阵和校验矩阵设计代价哈密顿量，引导 QAOA 找到与伴随式匹配的低权重错误。
• 评估 QAOA 在特定代码（如 [7,4,3] 汉明码和 [[5,1,3]] 与 [[9,1,3]] 量子码）上的译码性能。
• 研究 QAOA 译码是否能自然地反映量子码中的退简度现象，即多个不同错误具有相同的逻辑效应。
• 将 QAOA 译码性能与经典译码方法（如限距译码 BDD）进行比较，并通过 Jensen–Shannon 散度分析分布相似性。

提出的方法

• 构建一种基于校验的代价哈密顿量，结合校验满足度与错误权重最小化，通过可调参数平衡两项。
• 设计一种基于生成器的代价哈密顿量，灵感源自 Bruck 和 Blaum 的能量函数，适用于稀疏生成器矩阵的 QAOA。
• 应用 p 层 QAOA 电路，将初始的均匀叠加态演化至对应于有效错误解的低能量本征态。
• 通过经典优化代价哈密顿量期望值，在混合量子-经典优化循环中调节 QAOA 参数 $\bm{\gamma}$ 和 $\bm{\beta}$。
• 对于每个伴随式，QAOA 输出候选错误的分布；选择与伴随式匹配的最低权重错误作为译码输出。
• 使用 Jensen–Shannon 散度评估 QAOA 输出分布与真实后验分布的保真度，小码通过精确经典模拟实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在少量层数（如四层）下，QAOA 是否能实现与最大似然译码相当的译码性能，适用于小型经典与量子码？
• RQ2 代价哈密顿量的选择（基于生成器 vs 基于校验）如何影响 QAOA 译码性能与收敛性？
• RQ3 QAOA 译码是否能自然地处理量子码中的退简度现象，即多个不同保罗i错误具有相同逻辑效应？
• RQ4 由于退简度的利用，QAOA 译码是否能在高噪声环境下优于经典限距译码（BDD）？
• RQ5 QAOA 输出分布与给定伴随式下真实错误后验分布的接近程度如何，以 Jensen–Shannon 散度衡量？

主要发现

• 四层 QAOA 译码 [7,4,3] 汉明码的性能与最大似然译码相当。
• 四层基于生成器的 QAOA 译码 [[5,1,3]] 量子码的性能与限距译码（BDD）相当，且在去极化率高于 ~0.3 时，逻辑误码率低于 BDD。
• QAOA 译码具备固有的退简度特性：权重相近且退简度的错误（即具有相同逻辑效应）被以相近概率输出。
• 对于 [[5,1,3]] 代码，在 $\epsilon = 0.32$ 时，真实后验分布与 QAOA 输出分布之间的 Jensen–Shannon 散度为 0.06658，表明分布匹配良好。
• 在 $\epsilon = 0.38$ 时，$\hat{Y}_1$ 伴随式的 JS 散度上升至 0.1146，表明近似精度下降，但仍属合理范围。
• 研究表明，通过在优化问题中增加冗余约束，可在不增加量子比特数量的前提下提升 QAOA 性能。