[论文解读] Syntactically and Semantically Regular Languages of λ-Terms Coincide Through Logical Relations

Vincent Moreau, Lê Thành Dũng Nguyễn|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2023

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 1

一句话总结

该论文通过逻辑关系证明了在简单类型λ-项中，句法定义与语义定义的正则语言是重合的。它证明了任意非退化、良指派且局部有限的笛卡尔闭范畴（CCC）所识别的语言类，恰好与有限集范畴所识别的语言类一致，且这些语言也通过λ-可定义性从句法上得到刻画，从而展示了Salvati语义正则性概念的稳健性。

ABSTRACT

A fundamental theme in automata theory is regular languages of words and trees, and their many equivalent definitions. Salvati has proposed a generalization to regular languages of simply typed $λ$-terms, defined using denotational semantics in finite sets. We provide here some evidence for its robustness. First, we give an equivalent syntactic characterization that naturally extends the seminal work of Hillebrand and Kanellakis connecting regular languages of words and syntactic $λ$-definability. Second, we show that any finitary extensional model of the simply typed $λ$-calculus, when used in Salvati's definition, recognizes exactly the same class of languages of $λ$-terms as the category of finite sets does. The proofs of these two results rely on logical relations and can be seen as instances of a more general construction of a categorical nature, inspired by previous categorical accounts of logical relations using the gluing construction.

研究动机与目标

• 通过范畴论与逻辑方法，建立Salvati对简单类型λ-项正则语言的语义定义的稳健性。
• 为λ-项的正则语言提供句法刻画，推广Hillebrand与Kanellakis关于词正则性的研究。
• 证明所有有限型外延模型——在局部有限且良指派条件下——所识别的语言类与有限集范畴所识别的语言类完全一致。
• 在高阶计算背景下，统一语义与句法的正则性概念。
• 为profinite λ-项空间的典范地位提供基础性证据，其与正则语言构成对偶。

提出的方法

• 引入一种称为“挤压”（squeezing）的范畴构造，以关联不同笛卡尔闭范畴及其对λ-项的解释。
• 通过胶合构造（gluing construction）使用逻辑关系，将任意CCC中的解释与FinSet中的解释关联起来。
• 通过逻辑关系的提升，证明任意非退化CCC均识别所有句法正则语言。
• 通过逻辑关系论证，证明任意局部有限且良指派的CCC仅识别FinSet所识别的语言。
• 通过构造一个在类型A上决定成员关系的λ-项，证明FinSet所识别的每一语言都是句法正则的。
• 利用语义与句法定义的等价性，证明正则语言类构成布尔代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在简单类型设定下，λ-项的句法与语义正则性概念是否一致？
• RQ2 哪些简单类型λ-演算的范畴模型所识别的语言类与有限集范畴相同？
• RQ3 Salvati的语义正则性定义能否在λ-演算中完全通过句法方式刻画？
• RQ4 正则性概念在简单类型λ-演算的不同有限型模型中是否稳健？
• RQ5 良指派性与局部有限性在刻画λ-项正则语言中的作用是什么？

主要发现

• 所有非退化、良指派且局部有限的笛卡尔闭范畴所识别的λ-项正则语言类，恰好与有限集范畴所识别的语言类一致。
• 任意简单类型A的λ-项正则语言类构成布尔代数，对并、交与补运算封闭。
• FinSet所识别的每一语言都是句法正则的，即能被一个简单类型λ-项通过Church编码项决定成员关系。
• 所有局部有限且良指派的有限型外延模型所识别的语言，恰好是FinSet所识别的语言。
• 等价性证明依赖于逻辑关系与一种新颖的范畴构造——“挤压”（squeezing），其灵感来自胶合构造。
• 研究结果确认了Salvati语义正则性定义的稳健性，并支持了profinite λ-项对偶空间的典范地位。