[论文解读] Tableau Proof Systems for Justification Logics

Meghdad Ghari|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文提出了两种针对Justification Logic的sound且complete的表系证明系统，为一类新型解析表系建立了消去规则（cut elimination）与子公式性质。其核心贡献在于通过句法证明实现消去规则，从而确保完备性，并保证证明中所有公式均为根公式的弱子公式，推动了可判定、解析的Justification Logic证明理论基础的发展。

ABSTRACT

In this paper we present tableau proof systems for various justification logics. We show that the tableau systems are sound and complete with respect to Mkrtychev models. In order to prove the completeness of the tableaux, we give a syntactic proof of cut elimination. We also show the subformula property for our tableaux.

研究动机与目标

• 开发适用于多种Justification Logic的sound且complete的表系证明系统，超越现有非解析系统。
• 通过句法证明建立消去规则，实现解析表系的构建。
• 形式化并证明Justification Logic表系的子公式性质，确保证明中所有公式均为根公式的子公式。
• 通过引入两种不同形式的表系系统，弥合Justification Logic基于表系的证明系统之间的差距：一种基于Renne风格规则，另一种使用标准Smullyan风格规则并结合KE风格命题规则。
• 通过确保解析性与完备性，为Justification Logic中的自动化推理提供基础。

提出的方法

• 提出两种表系系统：JL-tableaux（第3.1节），受Renne为LP所提出规则的启发；以及JL^T-tableaux（第3.2节），采用标准Smullyan风格规则与KE风格命题规则。
• 为JL^T-tableaux提出消去规则的句法证明，将复杂消去规则转化为更低秩或更轻量的简单形式。
• 定义“弱JL_CS-子公式”以形式化子公式性质，确保表系中每个公式均为根公式的弱子公式。
• 将消去规则应用于证明完备性：若一公式有效，则其存在无消去规则的表系证明。
• 使用对消去规则的秩与权重的度量，通过归纳法将复杂消去规则逐步简化为更简单的形式，确保消除过程的终止性。
• 采用Mkrtychev模型作为语义，用于证明一致性和完备性，其中有效性意味着在演算中可证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Justification Logic开发出既sound又complete的解析表系系统，使其相对于Mkrtychev模型成立？
• RQ2 消去规则是否适用于Justification Logic中的表系系统，从而实现解析证明的构建？
• RQ3 能否为Justification Logic表系正式确立子公式性质，确保证明中所有公式均源自根公式？
• RQ4 KE风格表系规则如何适应Justification Logic，同时保持解析性与完备性？
• RQ5 常量规范对Justification Logic表系的子公式性质与可判定性有何影响？

主要发现

• JL^T-tableaux系统相对于Mkrtychev模型是sound且complete的，确保每个有效公式均存在表系证明。
• JL^T-tableaux的消去规则通过句法证明得以确立，表明任何使用消去规则的证明均可转化为无消去规则的证明。
• JL^T-tableaux满足子公式性质：证明中每个公式均为根公式的弱JL_CS-子公式。
• 子公式性质不能保证可判定性，因为子公式集合可能无限，如在空常量规范下可能出现无限链：t:A, t:t:A, t:t:t:A, 等。
• 消去规则的证明依赖于结合秩与权重的度量，确保所有消去规则均可被简化为复杂度严格更低的更简形式。
• 本文纠正了文献[8]中的先前错误，表明即使在有限常量规范下，当项被迭代时，JL_CS-子公式集合也未必有限。