[论文解读] Tables, bounds and graphics of short linear codes with covering radius 3 and codimension 4 and 5

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

本论文利用字典序矩阵与逆字典序矩阵算法，针对覆盖半径为3、余维数r=4,5的q元线性码，提出了长度函数ℓ_q(r,3)与d-长度函数ℓ_q(r,3,5)的新上界。研究建立了形如ℓ_q(4,3) < 2.65√[3]{q ln q}与ℓ_q(5,3) < 2.884√[3]{q² ln q}的字典序上界，适用于q≤7057与q≤839的情况，改进了先前的界限，并将结果推广至q=(q′)³以外的任意域结构。

ABSTRACT

The length function $\ell_q(r,R)$ is the smallest length of a $q$-ary linear code of codimension (redundancy) $r$ and covering radius $R$. The $d$-length function $\ell_q(r,R,d)$ is the smallest length of a $q$-ary linear code with codimension $r$, covering radius $R$, and minimum distance $d$. By computer search in wide regions of $q$, we obtained following short codes of covering radius $R=3$: $[n,n-4,5]_q3$ quasi-perfect MDS codes, $[n,n-5,5]_q3$ quasi-perfect Almost MDS codes, and $[n,n-5,3]_q3$ codes. In computer search, we use the step-by-step leximatrix and inverse leximatrix algorithms to obtain parity check matrices of codes. The new codes imply the following new upper bounds (called lexi-bounds) on the length and $d$-length functions: $$\ell_q(4,3)\le\ell_q(4,3,5)&lt;2.8\sqrt[3]{\ln q}\cdot q^{(4-3)/3}=2.8\sqrt[3]{\ln q}\cdot\sqrt[3]{q}=2.8\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{for}~11\le q\le7057;$$ $$\ell_q(5,3)\le\ell_q(5,3,5)&lt;3\sqrt[3]{\ln q}\cdot q^{(5-3)/3}=3\sqrt[3]{\ln q}\cdot\sqrt[3]{q^2}=3\sqrt[3]{q^2\ln q}~~ ext{ for }~37\le q\le839.$$ Moreover, we improve the lexi-bounds, applying randomized greedy algorithms, and show that $$\ell_q(4,3)\le \ell_q(4,3,5)&lt; 2.61\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{ if }~13\le q\le4373;$$ $$\ell_q(4,3)\le \ell_q(4,3,5)&lt; 2.65\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{ if }~4373

研究动机与目标

• 确定覆盖半径R=3、余维数r=4,5的q元线性码的长度函数ℓ_q(r,3)与d-长度函数ℓ_q(r,3,5)的更紧致上界。
• 将现有界限从特殊情形q=(q′)³扩展至任意域结构，包括非立方域。
• 开发并应用逐步字典序矩阵与逆字典序矩阵算法，以构建短覆盖码的校验矩阵。
• 通过推导形如μ_q(r,3) < c_μ·ln q的新型密度字典序上界，改进覆盖密度界限，其中r=4,5。
• 通过在广泛q范围内进行计算机搜索，包括随机贪心技术，验证界限的鲁棒性。

提出的方法

• 使用字典序矩阵与逆字典序矩阵算法，递归构造贪心码的校验矩阵，确保在给定覆盖半径与余维数下长度最小化。
• 这些算法基于递归g-校验矩阵方法，经调整后用于逐步构建具有所需特性的码。
• 应用随机贪心算法进一步优化码长界限，尤其在较大q值时效果显著。
• 理论界限以ℓ_q(r,3) < c_ℓ·√[3]{ln q}·q^{(r−3)/3}与μ_q(r,3) < c_μ·ln q的形式推导，其中c_ℓ与c_μ与q无关。
• 利用NRC库切托夫研究所的高性能计算资源进行计算实验，探索广泛的q值范围。
• 通过与先前表格对比并借助系数图（如图14）可视化结果，展示c_q值随q的变化，验证结果可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非特殊情形q=(q′)³下，为长度函数ℓ_q(4,3)与ℓ_q(5,3)建立更紧致的上界？
• RQ2 字典序矩阵与逆字典序矩阵算法在构建覆盖半径为3、余维数为4与5的短线性码方面的性能如何？
• RQ3 新字典序上界与现有界限相比，在渐近增长与常数因子方面表现如何？
• RQ4 覆盖密度μ_q(r,3)能否独立于q的结构进行界定？在μ_q(r,3) < c_μ·ln q中，可实现的最佳常数c_μ是多少？
• RQ5 随机贪心算法在码长优化方面，相较于确定性字典序矩阵构造，改善程度如何？

主要发现

• 对于q∈[11, 7057]，建立了ℓ_q(4,3) ≤ ℓ_q(4,3,5) < 2.65√[3]{q ln q}的界限，优于早期字典序上界。
• 对于q∈[37, 839]，实现了ℓ_q(5,3) ≤ ℓ_q(5,3,5) < 2.884√[3]{q² ln q}的界限，且上界在q>401时有效。
• 字典序上界ℓ_q(4,3) < 2.61√[3]{q ln q}在13≤q≤4373范围内成立，ℓ_q(5,3) < 2.785√[3]{q² ln q}在11≤q≤401范围内成立。
• 覆盖密度被界定为μ_q(4,3) < 3.3·ln q（11≤q≤7057）与μ_q(5,3) < 4.2·ln q（37≤q≤839）。
• 上述界限适用于任意域结构，包括q≠(q′)³的情况，且得到广泛计算机搜索与算法验证的支持。
• 系数图（图14）显示围绕水平线的稳定振荡，支持所推导界限在不同q值下的鲁棒性。