[论文解读] Tangent bundles with complete lift of the base metric and almost hypercomplex Hermitian-Norden structure

Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过赋予基底 Norden 度量的完全提升，构造了几乎超复赫尔米特-诺登结构于几乎 Norden 流形的切丛上。它刻画了该结构的几何性质，表明当基底为 h-球面时，$J_\alpha$-全实二维平面具有常曲率，而 $J_\alpha$-全纯二维平面曲率为零，且从基流形的曲率张量推导出显式的曲率公式。

ABSTRACT

The tangent bundle of an almost Norden manifold and the complete lift of the Norden metric is considered as a 4n-manifold. It is equipped with an almost hypercomplex Hermitian-Norden structure. It is characterized geometrically. The case when the base manifold is an h-sphere is considered.

研究动机与目标

• 在几乎 Norden 流形 $M$ 的切丛 $TM$ 上构造一个几乎超复赫尔米特-诺登结构。
• 刻画配备基底 Norden 度量的完全提升的 $TM$ 的几何性质。
• 分析当基流形为 h-球面（一种特殊的凯勒-诺登流形）时，$TM$ 的曲率行为。
• 以基流形的曲率及其协变导数表示 $TM$ 中各种二维平面的截面曲率。

提出的方法

• 通过 $M$ 上向量场的水平与垂直提升，定义 $TM$ 上的几乎复结构 $J_1$、$J_2$、$J_3$。
• 度量 $\widehat{g}$ 在 $TM$ 上定义为基底 Norden 度量 $g$ 的完全提升，保持赫尔米特-诺登相容关系。
• 利用 $\widehat{g}$ 的 Levi-Civita 联络计算 $TM$ 的曲率张量 $\widehat{R}$，其分量以基曲率张量 $R$ 及其协变导数 $\nabla R$ 表示。
• 通过曲率分解与 h-球面的结构，推导 $TM$ 中 $J_\alpha$-全纯与 $J_\alpha$-全实二维平面的截面曲率。
• 对于 h-球底，利用已知的曲率张量 $R = \nu(\pi_1 - \pi_2) + \nu^*\pi_3$ 对曲率公式进行特化，其中 $\nu = \frac{a}{a^2 + b^2}$，$\nu^* = \frac{-b}{a^2 + b^2}$。
• 通过 $\mathcal{W}_i$-类分析结构的分类，表明 $J_1$ 时 $TS \in \mathcal{AK}$，而 $J_2$、$J_3$ 时 $\left(\mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 \oplus \mathcal{W}_3\right) \setminus \left(\mathcal{W}_i \oplus \mathcal{W}_j\right)$，表明 Nijenhuis 张量分量非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过基度量的完全提升，自然地在几乎 Norden 流形的切丛上诱导出几乎超复赫尔米特-诺登结构？
• RQ2 $TM$ 中 $J_\alpha$-全纯与 $J_\alpha$-全实二维平面的截面曲率具有何种性质？
• RQ3 切丛 $TM$ 的曲率如何与基流形 $M$ 的曲率及其协变导数相关联？
• RQ4 当基流形为 h-球面（具有常全纯与全实曲率的凯勒-诺登流形）时，会引发何种特定的曲率行为？
• RQ5 在 $\mathcal{W}_i$-类的框架下，$TM$ 上的几乎 $hcHN$-结构如何分类？其在三个几乎复结构之间有何差异？

主要发现

• 几乎 Norden 流形的切丛 $TM$ 通过基度量的完全提升，可自然地赋予一个明确定义的几乎超复赫尔米特-诺登结构。
• 对于参数为 $(a,b)$ 的 h-球底流形，$TS$ 中 $J_1$-全纯二维平面的截面曲率为零，而 $J_1$-全实二维平面的截面曲率为常数 $\frac{a}{a^2 + b^2}$。
• $TS$ 中 $J_2$-全纯二维平面的截面曲率为零，$J_2$-全实二维平面的截面曲率为常数 $\frac{a}{a^2 + b^2}$。
• $TS$ 中 $J_3$-全纯二维平面的截面曲率为零，$J_3$-全实二维平面的截面曲率为常数 $\frac{a}{a^2 + b^2}$。
• 显式计算了 $TS$ 的曲率张量 $\widehat{R}$，表明对所有 $i,j$ 有 $\widehat{k}(\xi_i, \eta_j) = \widehat{k}(\xi_i, \eta_{\bar{j}}) = 0$，且当 $i \neq j$ 时 $\widehat{k}(\xi_i, \xi_j) = \widehat{k}(\xi_i, \xi_{\bar{j}}) = \frac{a}{a^2 + b^2}$，$\eta$-对亦有类似结果。
• 对 $TS$ 上的结构分类为：$J_1$ 时属于 $\mathcal{AK}$，$J_2$ 与 $J_3$ 时属于 $\left(\mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 \oplus \mathcal{W}_3\right) \setminus \left(\mathcal{W}_i \oplus \mathcal{W}_j\right)$，表明 Nijenhuis 张量分量非零。