[论文解读] Tannaka duality and convolution for duoidal categories

Thomas Booker, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通过将水平幺半群 $M$ 上的双幺半群结构与模$category ${\cal{F}}^{*M}$ 上的张量结构联系起来，构建了双幺半群范畴的Tannaka对偶框架，该张量结构提升自基双幺半群范畴 ${\cal{F}}$ 的垂直张量结构。关键贡献在于在 ${\cal{F}}$ 中双幺半群范畴的对偶范畴与可表示的张量函子范畴之间建立了一个双伴随关系，通过 enriched category theory 和 hom 上的张量函子，统一了经典卷积与Day卷积。

ABSTRACT

Given a horizontal monoid M in a duoidal category F, we examine the relationship between bimonoid structures on M and monoidal structures on the category of right M-modules which lift the vertical monoidal structure of F. We obtain our result using a variant of the Tannaka adjunction. The approach taken utilizes hom-enriched categories rather than categories on which a monoidal category acts ("actegories"). The requirement of enrichment in F itself demands the existence of some internal homs, leading to the consideration of convolution for duoidal categories. Proving that certain hom-functors are monoidal, and so take monoids to monoids, unifies classical convolution in algebra and Day convolution for categories. Hopf bimonoids are defined leading to a lifting of closed structures. Warped monoidal structures permit the construction of new duoidal categories.

研究动机与目标

• 开发双幺半群范畴的Tannaka对偶理论，将经典结果推广至具有两个相容张量结构的设定。
• 阐明水平幺半群 $M$ 上的双幺半群结构与 $M$-模范畴 ${\cal{F}}^{*M}$ 上的张量结构之间的对应关系。
• 通过基于 enriched category 和内部 hom 的一般框架，统一代数中的经典卷积与预层的Day卷积。
• 引入并研究Hopf双幺半群与扭曲张量结构，作为构建新双幺半群范畴的工具。

提出的方法

• 在 ${\cal{F}}$-enriched category 的语境下使用 Tannaka 伴随的一种变体，聚焦于模范畴之间的张量函子。
• 使用在基双幺半群范畴 ${\cal{F}}$ 中 enriched 的 hom-functor，要求内部 hom 来定义卷积结构。
• 通过垂直张量结构和幺半群乘法 $\hat{\circ}$ 构造一个张量 2-范畴 ${\cal{F}}\textrm{-Cat}\downarrow^{\operatorname{ps}}{\cal{F}}$。
• 从幺半群到可表示函子定义一个强张量函子 $\operatorname{mod} : (\operatorname{Bimon} {\cal{F}}_h)^{\operatorname{op}} \to {\cal{F}}\textrm{-Cat}\downarrow^{\operatorname{ps}}_{\operatorname{rep}}{\cal{F}}$。
• 在 $ (\operatorname{Bimon} {\cal{F}}_h)^{\operatorname{op}} $ 与可表示张量函子范畴之间应用双伴随，从而得出对偶性。
• 通过满足相干同构 $v$ 和 $k$ 的张量函子 $T$ 与幺半群 $K$，引入扭曲张量结构，实现从已有结构构造新双幺半群范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Tannaka对偶从单幺半群范畴推广到具有两个相容张量结构的双幺半群范畴？
• RQ2 在什么条件下，水平幺半群 $M$ 的模范畴会继承一个张量结构，且该结构可提升自基范畴的垂直张量结构？
• RQ3 在 $M$ 上的双幺半群结构与 ${\cal{F}}^{*M}$ 上的张量结构之间存在何种对应关系？其精确范畴机制是什么？
• RQ4 内部 hom 与 enriched category theory 如何在此框架中统一经典卷积与Day卷积？
• RQ5 如何通过‘扭曲’现有张量结构系统地构造新双幺半群范畴？

主要发现

• 在 ${\cal{F}}_h$ 中双幺半群范畴的对偶范畴与可表示张量函子范畴之间建立了双伴随关系，为双幺半群结构提供了范畴对偶。
• 通过强张量函子 $\operatorname{mod}$，将 $M$ 上的双幺半群结构与 ${\cal{F}}^{*M}$ 上的张量结构之间的对应关系明确刻画，该函子将幺半群映射到可表示函子。
• 在 enriched 设置下，hom-functor 被证明是张量的，确保其保持幺半群结构，从而统一了经典卷积与Day卷积。
• 在双幺半群设定中定义了Hopf双幺半群，使得 ${\cal{F}}$ 中的闭结构可被提升至 ${\cal{F}}^{*M}$，推广了Hopf代数的概念。
• 通过张量函子 $T$、幺半群 $K$ 以及相干同构 $v$ 和 $k$ 构造了扭曲张量结构，从而从已有结构生成新的双幺半群范畴。
• 通过在 ${\cal{F}}_h$-Cat 上使用 hom 的评估构造幺半群代数结构，确认当 ${\cal{F}}$ 是水平左闭时，${\cal{F}}_h$ 是一个 ${\cal{F}}_h$-范畴。