[论文解读] Tannaka duality for comonoids in cosmoi

Daniel Schäppi|ArXiv.org|Nov 5, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文将Tannaka对偶性推广至任意cosmoi（即完备且具完备对称单一路的闭合对称张量范畴）中的余代数，通过以具有对偶的对象替代有限维向量空间。本文建立了从其表示范畴重构余代数的必要且充分条件，并刻画了与特定余代数表示范畴等价的范畴，将结果应用于p进伽罗瓦表示理论中的滤子模范畴。

ABSTRACT

A classical result of Tannaka duality is the fact that a coalgebra over a field can be reconstructed from its category of finite dimensional representations by using the forgetful functor which sends a representation to its underlying vector space. There is also a corresponding recognition result, which characterizes those categories equipped with a functor to finite dimensional vector spaces which are equivalent to the category of finite dimensional representations of a coalgebra. In this paper we study a generalization of these questions to an arbitrary cosmos, that is, a complete and cocomplete symmetric monoidal closed category. Instead of representations on finite dimensional vector spaces we look at representations on objects of the cosmos which have a dual. We give a necessary and sufficient condition that ensures that a comonoid can be reconstructed from its representations, and we characterize categories of representations of certain comonoids. We apply this result to certain categories of filtered modules which are used to study p-adic Galois representations.

研究动机与目标

• 将域上余代数的经典Tannaka对偶性推广至涉及任意cosmoi中余代数的更广泛范畴设定。
• 确定在何种条件下，可从其表示范畴（取值于具有对偶的对象）与到具有对偶的对象的遗忘函子一起重构余代数。
• 刻画配备至cosmoi的函子且与某余代数的余模范畴等价的范畴。
• 将推广后的对偶性应用于p进Hodge理论与伽罗瓦表示论中相关的滤子模范畴。
• 在丰富范畴设定中，利用coend与密度性，建立语义-结构伴随与Tannakian双伴随。

提出的方法

• 使用丰富范畴理论中的coend，从表示函子重构余代数，推广经典通过 $ L(\omega) = \int^{A \in \mathscr{A}} \omega(A) \otimes \omega(A)^\vee $ 的余代数重构方法。
• 利用余代数范畴与具有可对偶生成元的丰富 $ \mathscr{V} $-范畴之间的语义-结构伴随。
• 应用 $ \mathscr{V} $-密度与 $ \mathscr{X} $-张量范畴的概念，以确保函子的表示性与余极限构造。
• 利用coend的普遍性质，建立余代数同态与提升表示函子的函子之间的自然双射。
• 通过构造将余代数映射到其余模范畴的函子的左伴随，引入Tannakian双伴随。
• 依赖丰富自然变换与对称张量范畴中的协调图式，证明重构的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可从其取值于具有对偶的对象的表示范畴重构cosmoi中的余代数？
• RQ2 配备至具有可对偶生成元的cosmoi的函子的哪些范畴，与某余代数的余模范畴等价？
• RQ3 域上余代数的经典Tannaka对偶性如何推广至任意cosmoi？
• RQ4 密度性与可对偶性在丰富设定中对重构与识别定理的实现起到何种作用？
• RQ5 该理论如何应用于算术几何中与p进伽罗瓦表示论相关的滤子模范畴？

主要发现

• 若表示函子 $ \omega: \mathscr{A} \to \mathscr{V} $ 取值于 $ \mathscr{V} $ 中的可对偶对象，且 $ \mathscr{A} $ 为小 $ \mathscr{V} $-范畴，$ \omega $ 为忠实且正合的，且 $ \omega $ 的像在余极限下生成该范畴，则 $ \omega $ 与 $ \operatorname{Comod}(L(\omega)) $ 上的遗忘函子等价。
• 重构通过coend $ L(\omega) = \int^{A \in \mathscr{A}} \omega(A) \otimes \omega(A)^\vee $ 实现，当 $ \omega $ 为 $ \operatorname{Comod}(C) $ 上的遗忘函子时，该coend构成与 $ C $ 同构的余代数。
• 若 $ \mathscr{A} $ 为小 $ \mathscr{V} $-范畴，$ \omega $ 为忠实且正合的，且 $ \omega $ 的像在余极限下生成该范畴，则取值于可对偶对象的 $ \mathscr{V} $-线性函子 $ \omega: \mathscr{A} \to \mathscr{V} $ 与 $ \operatorname{Comod}(L(\omega)) $ 上的遗忘函子等价。
• 语义-结构伴随被确立为将余代数映射到其余模范畴的函子的左伴随，其单位与余单位满足伴随的普遍性质。
• 该理论适用于与对偶相容的滤子模范畴，为通过滤子 $ \mathscr{V} $-余模研究 $ p $-进伽罗瓦表示提供了Tannakian框架。
• 在存在稠密自对偶生成元 $ \mathscr{X} $ 的前提下，每个预层 $ F \in \mathcal{P}\mathscr{A} $ 均可表示为 $ \mathscr{A}/F $ 上的典型图的锥余极限，从而确保表示性并支持重构。