[论文解读] Tannaka duality for enhanced triangulated categories

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文通过利用 Hochschild 同调，从 dg 范函到有限维复形构造 dg 余代数，建立了增强三角范畴上的 Tannaka 对偶性。当该范函忠实时，它在 A-模的导出 dg 范畴与 C-余模的导出 dg 范畴之间诱导出一个拟等价，将对偶性推广至 Morita 纤维化 dg 范畴，并使其可应用于拟代数拓扑型与 motivic Galois 群。

ABSTRACT

We develop Tannaka duality theory for dg categories. To any dg functor from a dg category A to finite-dimensional complexes, we associate a dg coalgebra C via a Hochschild homology construction. When the functor is faithful, this gives a quasi-equivalence between the derived dg categories of A-modules and of C-comodules. When A is Morita fibrant (i.e. an idempotent-complete enhanced triangulated category), it is thus quasi-equivalent to the derived dg category of compact C-comodules. We give several applications for pro-algebraic homotopy types associated to various cohomology theories, and for motivic Galois groups.

研究动机与目标

• 通过 dg 茌畴将 Tannaka 对偶性推广至增强三角范畴的设定。
• 通过 Hochschild 同调从一个到有限维复形的 dg 范函构造一个 dg 余代数。
• 在忠实性条件下，建立 A-模与 C-余模的导出 dg 范畴之间的拟等价。
• 将该对偶性框架应用于由上同调理论产生的拟代数拓扑型。
• 在增强三角范畴的背景下，探索其与 motivic Galois 群的联系。

提出的方法

• 利用 Hochschild 同调，将一个从 dg 范畴 A 到有限维复形的 dg 范函关联为一个 dg 余代数 C。
• 将 C-余模的导出 dg 范畴定义为对偶性构造的目标。
• 当该范函忠实时，建立 A-模的导出 dg 范畴与 C-余模的导出 dg 范畴之间的拟等价。
• 聚焦于 Morita 纤维化 dg 范畴——即具有幂等完备性的增强三角范畴——在此类范畴中，对偶性诱导出与紧致 C-余模的导出 dg 范畴之间的拟等价。
• 将该框架应用于上同调理论，以构造拟代数拓扑型。
• 利用对偶性通过余代数结构分析 motivic Galois 群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 dg 茌畴将 Tannaka 对偶性从代数群推广至增强三角范畴？
• RQ2 Hochschild 同调在构造一个分类到有限维复形的范函的余代数中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，A-模的导出 dg 范畴会与 C-余模的导出 dg 范畴拟等价？
• RQ4 该对偶性框架如何用于从上同调理论构造拟代数拓扑型？
• RQ5 该对偶性以何种方式揭示 motivic Galois 群中的结构？

主要发现

• 通过 Hochschild 同调构造 dg 余代数 C 时，若范函忠实，则 A-模的导出 dg 范畴与 C-余模的导出 dg 范畴之间存在拟等价。
• 对于 Morita 纤维化 dg 范畴，导出 dg 范畴与紧致 C-余模的导出 dg 范畴之间存在拟等价。
• 该对偶性构造为增强三角范畴提供了余代数描述，扩展了经典 Tannaka 对偶性。
• 通过余代数框架将拟代数拓扑型与上同调理论关联，使该对偶性在构造拟代数拓扑型方面成为可能。
• 该框架通过实现与 motivic 范函相关的余代数 C 的对称性，为 motivic Galois 群提供了新的视角。