[论文解读] Teichmüller Space Is Totally Geodesic In Goldman Space

Qiongling Li|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文在Goldman的空间 $ \mathcal{B}(S) $ 上构造了一个新的黎曼度量，即Loftin度量，该空间是曲面 $ S $ 上的凸 $ \mathbb{R}P^2 $-结构的模空间，并证明了该新度量以及Darvishzadeh-Goldman度量在Teichmüller空间上均限制为Weil-Petersson度量的常数倍。关键结果是：在Loftin度量下，配备Weil-Petersson度量的Teichmüller空间在 $ \mathcal{B}(S) $ 中是全测地的，该结论通过一个等距对偶映射得以确立。

ABSTRACT

We construct a new Riemannian metric on Goldman space $\mathcal{B}(S)$, the space of the equivalence classes of convex projective structures on the surface $S$, and then prove the new metric, as well as the metric of Darvishzadeh and Goldman, restricts to be the Weil-Petersson metric on Teichm$\ddot{u}$ller space, embedded as a submanifold of Goldman space $\mathcal{B}(S)$. Moreover, Teichm$\ddot{u}$ller space endowed with the Weil-Petersson metric then is totally geodesic in the Riemannian manifold $\mathcal{B}(S)$.

研究动机与目标

• 在Goldman空间 $ \mathcal{B}(S) $ 上构造一个新的黎曼度量，使其在Teichmüller空间上限制为Weil-Petersson度量。
• 确定在该新度量下，Teichmüller空间是否在 $ \mathcal{B}(S) $ 中是全测地的。
• 将Teichmüller空间的几何结构扩展到更大的凸 $ \mathbb{R}P^2 $-结构空间。
• 解决一个开放问题：Weil-Petersson度量在Teichmüller空间上是否可延拓为 $ \mathcal{B}(S) $ 上的黎曼度量，且保持全测地性。
• 通过对偶性和调和代表元，提供Teichmüller空间在 $ \mathcal{B}(S) $ 中嵌入的几何表征。

提出的方法

• 基于 $ \mathcal{B}(S) $ 与对偶 $ (\Sigma, U) $ 之间的对应关系（其中 $ \Sigma $ 是黎曼曲面，$ U $ 是一个三次微分），利用Cheng-Yau度量在空间 $ (\Sigma, U) $ 上构造一个新的黎曼度量，称为Loftin度量。
• 通过一个典范同构，将Teichmüller空间的切向量与 $ \mathcal{B}(S) $ 中Teichmüller轨线的切向量对应起来，以比较度量。
• 证明取值于平坦 $ sl(3,\mathbb{R}) $-丛的所选1-形式是其上同调类中的调和代表元，这对定义Loftin度量至关重要。
• 通过比较定义并利用代表元的调和性，证明Loftin度量与Darvishzadeh-Goldman度量在Teichmüller轨线上是等距的（至多相差一个常数）。
• 在 $ \mathcal{B}(S) $ 上构造一个对偶映射 $ \tau $，它在Teichmüller轨线上点点固定，并保持Loftin度量不变，利用表示与其对偶之间的对偶性。
• 应用黎曼几何中的一个结果：等距的固定点集是全测地的，并验证 $ \tau $ 同时满足固定点集和等距条件，从而得出全测地性的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 $ \mathcal{B}(S) $ 上的黎曼度量，使其在Teichmüller空间上限制为Weil-Petersson度量？
• RQ2 在适当的黎曼度量下，配备Weil-Petersson度量的Teichmüller空间是否在 $ \mathcal{B}(S) $ 中是全测地的？
• RQ3 能否证明Darvishzadeh-Goldman度量在Teichmüller轨线上限制为Weil-Petersson度量的常数倍？
• RQ4 基于Cheng-Yau度量的新Loftin度量是否在Teichmüller轨线上与Darvishzadeh-Goldman度量等距？
• RQ5 能否在 $ \mathcal{B}(S) $ 上构造一个对偶映射，其固定点集恰好为Teichmüller轨线，并且关于Loftin度量是等距的？

主要发现

• 通过在 $ (\Sigma, U) $ 空间上利用Cheng-Yau度量构造的Loftin度量，在 $ \mathcal{B}(S) $ 的Teichmüller轨线上限制为Weil-Petersson度量的常数倍。
• Darvishzadeh-Goldman度量同样在Teichmüller轨线上限制为Weil-Petersson度量的常数倍，证实了两种度量均延拓了Weil-Petersson结构。
• 在 $ \mathcal{B}(S) $ 上，对偶映射 $ \tau $ 的固定点集恰好是Teichmüller轨线，且 $ \tau $ 关于Loftin度量是等距的。
• 对偶映射 $ \tau $ 保持了上同调类的调和代表元，从而确保了度量在 $ \tau $ 下的良定义性与不变性。
• 由于 $ \tau $ 的等距性及其固定点集恰好为Teichmüller空间，因此在Loftin度量下，Teichmüller空间在 $ \mathcal{B}(S) $ 中是全测地的。
• 在平坦 $ sl(3,\mathbb{R}) $-丛 $ \mathcal{A}^1(S, sl(3,\mathbb{R})_{Ad\rho}) $ 与 $ \mathcal{A}^1(S, sl(3,\mathbb{R})_{Ad\rho^*}) $ 上的黎曼度量在映射 $ \mu $ 下是等距的，这对证明 $ \tau $ 下Loftin度量的等距性至关重要。