[论文解读] Teichmüller space of circle diffeomorphisms with Hölder continuous derivatives

Katsuhiko Matsuzaki|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文将单位圆周上具有 $ \alpha $-Hölder 连续导数的保向微分同胚的 Teichmüller 空间 $ T_0^\beta $ 定义为全纯 Teichmüller 空间中的复 Banach 流形。通过复伸长率的衰减速率给出了精确刻画，并证明了 Beltrami 微分上由 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 范数诱导的拓扑与 $ C^{1+\alpha} $-拓扑一致，从而确保了该正则圆周微分同胚空间具有良好行为的几何与分析结构。

ABSTRACT

Based on the quasiconformal theory of the universal Teichmüller space, we introduce the Teichmüller space of diffeomorphisms of the unit circle with $α$-Hölder continuous derivatives as a subspace of the universal Teichmüller space. We characterize such a diffeomorphism quantitatively in terms of the complex dilatation of its quasiconformal extension and the Schwarzian derivative given by the Bers embedding. Then, we provide a complex Banach manifold structure for it and prove that its topology coincides with the one induced by local $C^{1+α}$-topology at the base point.

研究动机与目标

• 将具有 $ \alpha $-Hölder 连续导数的圆周微分同胚的 Teichmüller 空间 $ T_0^\alpha $ 定义为全纯 Teichmüller 空间的子空间。
• 通过其拟共形扩张的复伸长率的衰减速率来刻画此类微分同胚。
• 利用 Bers 嵌入和 Beltrami 微分上的加权 $ L^\infty $-范数，在 $ T_0^\alpha $ 上建立复 Banach 流形结构。
• 证明由 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 范数诱导的 $ T_0^\alpha $ 拓扑与在基点处由 $ C^{1+\alpha} $-拓扑诱导的拓扑一致。
• 证明通过 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 上群作用定义的右一致拓扑与来自 Beltrami 空间的商拓扑等价。

提出的方法

• 通过其拟共形扩张到单位圆盘 $ \mathbb{D} $ 的复伸长率 $ \mu $ 的衰减速率 $ O((1-|z|)^\alpha) $ 来刻画 $ C^{1+\alpha} $ 微分同胚。
• 利用 Bers 嵌入将 $ T_0^\alpha $ 识别为 $ \mathbb{D}^* $ 上全纯二次微分的子空间，配备加权本质上确界范数。
• 定义范数 $ \|\mu\|_{\infty,\alpha} = \sup_{z \in \mathbb{D}} (1-|z|)^\alpha |\mu(z)| $ 以控制 $ \mu $ 在边界附近的衰减。
• 证明 Bers 投影 $ \Phi: \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) \to \beta(T) \cap B_0^\alpha(\mathbb{D}^*) $ 是一个全纯的分裂子mersion，从而保证流形结构。
• 通过在 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 中归一化代表元 $ \gamma_n = g_n \circ g^{-1} $ 的收敛性，建立 $ T_0^\alpha $ 上的商拓扑与右一致拓扑的等价性。
• 利用基点变换映射和右平移的连续性，证明 $ T_0^\alpha $ 上的拓扑在全纯群作用下不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个圆周微分同胚的导数的 Hölder 正则性与其拟共形扩张的复伸长率的衰减速率之间存在何种精确关系？
• RQ2 能否为 $ C^{1+\alpha} $ 微分同胚的 Teichmüller 空间 $ T_0^\alpha $ 赋予复 Banach 流形结构？
• RQ3 通过 Beltrami 微分上的 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 范数定义的 $ T_0^\alpha $ 拓扑，与微分同胚群上的 $ C^{1+\alpha} $-拓扑相比如何？
• RQ4 由 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 的群结构诱导的 $ T_0^\alpha $ 上的右一致拓扑，是否与来自全纯 Teichmüller 空间的商拓扑等价？
• RQ5 在 $ T_0^\alpha $ 上的 Kobayashi 度量是否与来自全纯 Teichmüller 空间 $ T $ 的 Teichmüller 度量的限制一致？

主要发现

• 一个圆周微分同胚 $ g \in \operatorname{QS} $ 具有 $ \alpha $-Hölder 连续导数，当且仅当其到 $ \mathbb{D} $ 的拟共形扩张的复伸长率 $ \mu $ 满足 $ \|\mu\|_{\infty,\alpha} < \infty $，即当 $ |z| \to 1 $ 时有 $ \mu(z) = O((1-|z|)^\alpha) $。
• 通过 Bers 嵌入到 $ \mathbb{D}^* $ 上全纯二次微分空间并配备加权 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 范数，Teichmüller 空间 $ T_0^\alpha $ 具有复 Banach 流形结构。
• 由 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 范数在 $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ 上诱导的 $ T_0^\alpha $ 拓扑，与由 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 上的 $ C^{1+\alpha} $-拓扑诱导的拓扑一致。
• 通过 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 中右平移定义的 $ T_0^\alpha $ 上的右一致拓扑，与来自 $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ 的商拓扑等价。
• 在 $ T_0^\alpha $ 上的 Kobayashi 度量与来自全纯 Teichmüller 空间 $ T $ 的 Teichmüller 度量的限制一致，表明其无穷小度量相容。
• 在所识别的拓扑下，群 $ (T_0^\alpha, \ast) $ 是一个拓扑群，具有全纯的右平移和基点变换映射。