[论文解读] Tempered distributions with discrete support and spectrum

Serhii Favorov|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文建立了充分条件，表明在何种情况下具有离散支集和离散傅里叶变换谱的退化分布，其支集必为全秩格点的陪集的有限并——即纯晶体。通过分析系数的生长条件并运用几乎周期性论证，作者证明：若分布及其傅里叶变换均具有离散、可数的支集，且系数衰减受控，则该分布的支集相对于某一格点为纯晶体，从而将已知的测度结果推广至分布情形。

ABSTRACT

We investigate properties of tempered distributions with discrete or countable supports such that their Fourier transforms are distributions with discrete or countable supports as well. We find sufficient conditions for support of the distribution to be a finite union of translations of a full-rank lattice.

研究动机与目标

• 表征支集与傅里叶变换谱均为离散或可数集合的退化分布。
• 将关于准晶体与测度的已知结果推广至更广泛的退化分布类。
• 确定此类分布的支集必为全秩格点陪集的有限并的充分条件。
• 建立系数衰减、几乎周期性与支集晶体结构之间的联系。

提出的方法

• 将分布表示为离散点上狄拉克质量的有限阶导数之和：$ f = \sum_{\lambda \in \Lambda} \sum_{\|k\| \leq m} p_{\lambda,k} D^k \delta_\lambda $。
• 假设傅里叶变换 $ \hat{f} $ 也具有离散支集，并以类似方式用系数 $ q_{\gamma,j} $ 表示。
• 对系数施加 $ L^2 $ 类型的生长界：当 $ |\lambda| \to \infty $ 时，$ \kappa_f(\lambda) = O(|\lambda|^m) $，以保证退化性与衰减性。
• 应用几乎周期性理论：若系数增长为多项式，则此类分布为几乎周期的。
• 通过与光滑函数卷积构造几乎周期逼近，从而推出狄拉克梳状函数 $ \delta_\Lambda $ 的几乎周期性。
• 利用关于几乎周期测度的已知结果，得出：具有相对密集差值的离散集必为纯晶体。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有离散支集与离散傅里叶变换谱的退化分布必为纯晶体？
• RQ2 经典测度结果（即支集与谱均匀离散则蕴含纯晶体结构）能否推广至系数多项式有界的分布？
• RQ3 分布系数的衰减速率如何与分布及其关联狄拉克梳状函数的几乎周期性相关？
• RQ4 支集与谱的均匀离散性在确保基于格点的晶体结构中起何作用？
• RQ5 对分布及其傅里叶变换的系数增长施加条件，能否强制支集为全秩格点陪集的有限并？

主要发现

• 若退化分布 $ f $ 具有离散支集 $ \Lambda $，且其傅里叶变换 $ \hat{f} $ 具有离散谱 $ \Gamma $，且系数满足 $ \kappa_f(\lambda) = O(|\lambda|^m) $，则 $ \Lambda $ 相对于某一全秩格点为纯晶体。
• 若分布 $ f $ 为几乎周期且系数多项式增长，则狄拉克梳状函数 $ \delta_\Lambda = \sum_{\lambda \in \Lambda} \delta_\lambda $ 为几乎周期。
• 若 $ f $ 与 $ \hat{f} $ 均为几乎周期且具有离散支集与多项式系数增长，则两者的支集分别相对于对偶格点为纯晶体。
• 该结果将测度情形下的定理2推广至分布：系数衰减与几乎周期性蕴含晶体结构。
• 支集与谱的均匀离散性，结合多项式系数增长，意味着支集为全秩格点陪集的有限并。
• 证明依赖于通过与光滑函数卷积构造几乎周期逼近，并利用几乎周期性在该操作下的稳定性。