[论文解读] Tempered homogeneous spaces III

Yves Benoist, Toshiyuki Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文分类了实与复半单齐次空间 $G/H$，其中 $G$ 在 $L^2(G/H)$ 上的单位表示是温和的。对于复李群，温和性等价于 $H$ 的通有稳定子群为拟阿贝尔；对于实李群，该条件为必要但非充分，文中列出了显式例外。主要贡献在于通过稳定子群结构对温和表示给出了完整的代数刻画。

ABSTRACT

Let G be a real semisimple algebraic Lie group and H a real reductive algebraic subgroup. We describe the pairs (G,H) for which the representation of G in $L^2(G/H)$ is tempered. When G and H are complex Lie groups, the temperedness condition is characterized by the fact that the stabilizer in H of a generic point on G/H is virtually abelian.

研究动机与目标

• 对实半单与复代数李群对 $(G,H)$ 进行刻画，使得 $G$ 在 $L^2(G/H)$ 上的单位表示为温和表示。
• 根据 $G/H$ 中通有点的稳定子群的代数结构，确定表示温和性的条件。
• 为单 $G$ 与半单 $H$ 提供完整的非温和情形列表，尤其关注复与实情形。
• 澄清实情形与复情形下温和性的必要与充分条件之间的区别。

提出的方法

• 利用与李代数表示 $V$ 关联的不变量 $p_V$ 来控制矩阵系数的增长。
• 通过结构分解与表示理论将分类问题约化为单李代数情形。
• 应用 Dynkin 对极大子代数的分类来分析不可约表示。
• 使用函数 $\rho_V$ 衡量表示的复杂性，并将其与温和性条件关联。
• 基于代数几何与李群的结构，特别是 $G/H$ 中通有点的稳定子群，提出证明策略。
• 利用复化技术将实情形约化为复情形，尤其在对称空间情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些实复代数李群对 $(G,H)$，$G$ 在 $L^2(G/H)$ 上的单位表示是温和的？
• RQ2 在 $G/H$ 中通有点的 $H$-稳定子群上，何种精确代数条件可确保 $L^2(G/H)$ 的温和性？
• RQ3 为何在复情形下，拟阿贝尔通有稳定子群的条件既是必要也是充分，而在实情形下却非充分？
• RQ4 哪些对称与非对称齐次空间 $G/H$ 尽管具有可约稳定子群，但其表示并非温和？
• RQ5 经典与例外李群的完整非温和情形列表为何？

主要发现

• 对于复半单 $G$ 与复代数 $H$，$L^2(G/H)$ 上的表示是温和的，当且仅当 $G/H$ 中具有拟阿贝尔稳定子群的点的集合是稠密的。
• 在实情形下，通有 $H$-稳定子群为拟阿贝尔的条件对温和性是充分但非必要的，反例已给出。
• $L^2(G/H)$ 的表示不是温和的，当 $G = \mathrm{SL}(2m,\mathbb{C})$, $H = \mathrm{Sp}(m,\mathbb{C})$，以及 $G = \mathrm{SO}(7,\mathbb{C})$, $H = G_2$，尽管稳定子群是可约的。
• 对于 $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$, $H = \prod \mathrm{SL}(n_i,\mathbb{C})$，表示是温和的当且仅当 $2n_1 \leq n+1$，对 $\mathrm{SO}$ 与 $\mathrm{Sp}$ 类型有类似界。
• 在实情形下，$L^2(\mathrm{SL}(2m,\mathbb{R})/\mathrm{Sp}(m,\mathbb{R}))$ 永远不是温和的，而 $L^2(\mathrm{SL}(m+n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(m,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}))$ 是温和的当且仅当 $|m-n| \leq 1$。
• 存在实齐次空间，其通有稳定子群是可约的但表示并非温和；也存在通有稳定子群非阿贝尔但表示仍为温和的情形，表明定理 1.1 中的逆命题一般不成立。