[论文解读] Tensor networks, $p$-adic fields, and algebraic curves: arithmetic and the AdS$_3$/CFT$_2$ correspondence

Matthew Heydeman, Matilde Marcolli+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

advanced mathematical theories参考文献 39被引用 27

一句话总结

该论文提出了一种基于p进域和Bruhat–Tits树的AdS₃/CFT₂对应关系的新形式化，将离散的体积分几何作为基础，尽管进行了离散化，但仍保持了完整的等距对称性和共形对称性。该研究建立了张量网络、量子纠错码与全息纠缠之间的对应关系，通过Ryu–Takayanagi公式实现，其中p进拉普拉斯算子和Vladimirov导数使得树上的动力场论成为可能，从而构建出一个完全一致的非阿基米德全息模型。

ABSTRACT

One of the many remarkable properties of conformal field theory in two dimensions is its connection to algebraic geometry. Since every compact Riemann surface is a projective algebraic curve, many constructions of interest in physics (which a priori depend on the analytic structure of the spacetime) can be formulated in purely algebraic language. This opens the door to interesting generalizations, obtained by taking another choice of field: for instance, the $p$-adics. We generalize the AdS/CFT correspondence according to this principle; the result is a formulation of holography in which the bulk geometry is discrete---the Bruhat--Tits tree for $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{Q}_p)$---but the group of bulk isometries nonetheless agrees with that of boundary conformal transformations and is not broken by discretization. We suggest that this forms the natural geometric setting for tensor networks that have been proposed as models of bulk reconstruction via quantum error correcting codes; in certain cases, geodesics in the Bruhat--Tits tree reproduce those constructed using quantum error correction. Other aspects of holography also hold: Standard holographic results for massive free scalar fields in a fixed background carry over to the tree, whose vertical direction can be interpreted as a renormalization-group scale for modes in the boundary CFT. Higher-genus bulk geometries (the BTZ black hole and its generalizations) can be understood straightforwardly in our setting, and the Ryu-Takayanagi formula for the entanglement entropy appears naturally.

研究动机与目标

• 通过用基于PGL(2,ℚₚ)的Bruhat–Tits树的离散p进几何替代实数双曲体积分几何，推广AdS₃/CFT₂对应关系。
• 在离散化设置中保持体积分几何的等距对称性和边界共形场论的共形对称性，避免通常由晶格正则化引起的对称性破缺。
• 利用p进分析和Schottky统一化方法，为张量网络和量子纠错码在全息中的几何与动力学框架提供支持。
• 将标准全息结果（如体积分重建、重整化群流和纠缠熵）推广至非阿基米德、离散的体积分几何。
• 证明Ryu–Takayanagi纠缠熵公式在该p进设定下自然出现，包括在高亏格黑洞背景下的情形。

提出的方法

• 将PGL(2,ℚₚ)的Bruhat–Tits树用作替代连续双曲空间的离散、规则且对称的体积分几何。
• 应用p进Schottky统一化和Mumford曲线理论，构建包括BTZ黑洞推广在内的高亏格体积分几何。
• 采用Vladimirov导数——一种非局部的p进伪微分算子——作为树上基本的微分结构，替代标准导数。
• 在Bruhat–Tits树上使用有限域上的完美张量构建张量网络，以建模具有体积分到边界重建能力的量子纠错码。
• 通过p进分析推导树上的拉普拉斯算子和调和函数，实现具有路径积分表述的标量场论。
• 利用p进模式展开和p进Gamma函数，定义边界上的自由玻色子共形场论，其关联函数可通过p进积分计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散的p进体积分几何是否能在保持AdS₃等距群的同时，维持边界共形场论中的完整共形对称性？
• RQ2 在Bruhat–Tits树上的张量网络如何通过量子纠错码再现全息的关键特征，如体积分局域性和楔形重建？
• RQ3 Ryu–Takayanagi纠缠熵公式是否在基于p进域的非阿基米德离散全息模型中自然出现？
• RQ4 能否使用Schottky统一化在该p进框架中一致地描述高亏格黑洞几何（如BTZ类）？
• RQ5 Vladimirov导数在定义体积分动力学和尺度依赖性方面起什么作用？它与重整化群流有何关联？

主要发现

• PGL(2,ℚₚ)的Bruhat–Tits树支持一个与PGL(2,ℚₚ)同构的完整等距群，尽管是离散的，仍保持了连续AdS₃/CFT₂对应关系的对称性。
• Vladimirov导数在树上是一个定义良好的非局部微分算子，其本征函数包括p进平面波χ(kx)，其本征值与|k|ₚⁿ成正比。
• 树上的p进拉普拉斯算子使得调和函数和具有路径积分表述的标量场论得以构建，将标准全息结果推广至离散、非阿基米德的设定。
• 基于Bruhat–Tits树的生成树构建的张量网络再现了来自量子纠错码的测地线结构，实现了体积分楔形重建和逻辑量子比特编码。
• 在该框架中，Ryu–Takayanagi纠缠熵公式自然恢复，树中的最小曲面对应于纠缠切口。
• 对于自由标量场，体积分重建中的尺度依赖性对应于重整化群流，树的竖直方向被解释为RG尺度，类似于MERA。