[论文解读] Tensor product varieties and crystals. ADE case

Anton Malkin|ArXiv.org|Mar 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文引入与ADE型Dynkin图相关的张量积与重数概形，建立了这些概形不可约分支上的晶体结构的几何实现。证明了张量积概形的不可约分支集合携带一个与有限维χ-表示张量积的典范基同构的$χ$-晶体结构，而重数概形则几何地编码了张量积的重数。

ABSTRACT

Let g be a simple simply laced Lie algebra. In this paper two families of varieties associated to the Dynkin graph of g are described: ``tensor product'' and ``multiplicity'' varieties. These varieties are closely related to Nakajima's quiver varieties and should play an important role in the geometric constructions of tensor products and intertwining operators. In particular it is shown that the set of irreducible components of a tensor product variety can be equipped with a structure of g-crystal isomorphic to the crystal of the canonical basis of the tensor product of several simple finite dimensional representations of g, and that the number of irreducible components of a multiplicity variety is equal to the multiplicity of a certain representation in the tensor product of several others. Moreover the decomposition of a tensor product into a direct sum is described geometrically (on the level of crystals).

研究动机与目标

• 定义并研究与ADE型Dynkin图相关联的两类代数概形——张量积概形与重数概形。
• 建立单连通李代数$χ$的有限维表示张量积的典范基晶体结构的几何实现。
• 证明重数概形的不可约分支数量等于给定表示在张量积中出现的重数。
• 通过这些概形的不可约分支，为张量积分解为直和提供几何解释。

提出的方法

• 利用李代数$\mathfrak{g}' = \mathfrak{g} \oplus \mathfrak{t}$的表示，定义张量积概形$^n\mathfrak{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n;\nu)$与重数概形$^n\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n)$。
• 以Nakajima的quiver概形作为基础构建模块，特别地，当$n=1$时，$^1\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1)$与$^1\mathfrak{T}(\mu^1;\nu)$分别与$\mathfrak{M}^{\text{reg}}_0(v,w)$及解析映射的纤维重合。
• 构造两个典范双射：$\alpha_n: {}^n\mathcal{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n) \xrightarrow{\sim} \mathcal{M}(\mu_1) \times \cdots \times \mathcal{M}(\mu_n)$ 与 $\beta_n: {}^n\mathcal{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n) \xrightarrow{\sim} \bigsqcup_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \times \mathcal{M}(\mu^0)$。
• 证明复合映射$\tau_n = \beta_n \circ \alpha_n^{-1}$是晶体$\mathcal{M}(\mu_1) \otimes \cdots \otimes \mathcal{M}(\mu_n)$与直和$\bigoplus_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \otimes \mathcal{M}(\mu^0)$之间的$\mathfrak{g}'$-晶体同构。
• 通过限制到Levi子代数，将一般情形约化为$n=2$，再约化为$\mathfrak{sl}_2$的情形，利用线性代数中的已知结果处理基础情形。
• 利用Joseph [Jos95] 的唯一性定理，重新推导出Nakajima的晶体$\mathcal{M}(\mu)$与$\mathfrak{g}'$的最高权为$\mu$的不可约表示的典范基之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过代数概形的不可约分支，几何地实现有限维$χ$-表示张量积的典范基的晶体结构？
• RQ2 重数概形的不可约分支如何与张量积中给定不可约表示的重数相关联？
• RQ3 是否存在一种几何构造，能在晶体层面上实现张量积分解为直和？
• RQ4 能否通过张量积与重数概形上的几何结构，重新推导出Nakajima概形与典范基之间的晶体同构？
• RQ5 图(A.3.1)在将张量积概形与quiver概形的滤子及子概形联系起来的过程中起什么作用？

主要发现

• 张量积概形$^n\mathfrak{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n;\nu)$的不可约分支集合自然地携带一个$\mathfrak{g}'$-晶体结构，该结构与$\mathfrak{g}'$的$n$个最高权分别为$\mu^1,\ldots,\mu^n$的不可约表示张量积的典范基晶体同构。
• 重数概形$^n\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n)$的不可约分支数量等于不可约表示$L(\mu^0)$在张量积$L(\mu^1) \otimes \cdots \otimes L(\mu^n)$中的重数。
• 复合双射$\tau_n = \beta_n \circ \alpha_n^{-1}$在晶体$\mathcal{M}(\mu_1) \otimes \cdots \otimes \mathcal{M}(\mu_n)$与直和$\bigoplus_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \otimes \mathcal{M}(\mu^0)$之间给出一个$\mathfrak{g}'$-晶体同构，几何地实现了张量积的分解。
• 该证明依赖于通过抛物子代数约化到$\mathfrak{sl}_2$情形，此时结论在线性代数中成为显然成立的恒等式。
• 该构造为Nakajima的晶体$\mathcal{M}(\mu)$与最高权为$\mu$的$\mathfrak{g}'$不可约表示的典范基之间的同构提供了另一种证明，利用了在张量积下封闭的晶体族的唯一性。
• 图(A.3.1)实现了某个纤维丛的全空间，其在滤子上的纤维同构于一个重数概形，且该全空间的不可约分支数量等于重数$\dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Hom}_{\mathfrak{g}'}(L(d,v), L(\mathbf{d}^1,\mathbf{v}^1) \otimes \cdots \otimes L(\mathbf{d}^n,\mathbf{v}^n))$。