[论文解读] Test Problems in Optimization

Xin‐She Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Metaheuristic Optimization Algorithms Research参考文献 5被引用 108

一句话总结

本文整理了一份全面且精心筛选的无约束与有约束优化基准测试函数列表，涵盖多种特性，如多峰性、凸性及随机性。该列表提供了15个以上标准及新型测试函数的显式数学表达式、搜索域、全局最优解及维度信息，可实现对新型元启发式与数值优化算法在各类问题类型上的严格验证。

ABSTRACT

Test functions are important to validate new optimization algorithms and to compare the performance of various algorithms. There are many test functions in the literature, but there is no standard list or set of test functions one has to follow. New optimization algorithms should be tested using at least a subset of functions with diverse properties so as to make sure whether or not the tested algorithm can solve certain type of optimization efficiently. Here we provide a selected list of test problems for unconstrained optimization.

研究动机与目标

• 提供一套标准化、多样化且易于获取的测试函数，用于评估无约束与有约束优化算法。
• 通过整合常用函数与新设计的函数，弥补缺乏通用认可基准集的不足，赋予其独特属性。
• 通过提供具有不同复杂度的函数（包括多峰、单峰、非凸及随机变体），支持新优化算法的验证。
• 包含经典函数与新型函数（如Yang的驻波函数与随机函数），以测试算法在不确定性下的鲁棒性。
• 通过明确定义函数形式、变量边界与已知全局最小值，确保每项测试问题的可复现性。

提出的方法

• 从既有文献及Xin-She Yang的原创贡献中汇编15个以上的基准测试函数，包括Rastrigin、Rosenbrock与Griewank等经典函数。
• 整合无约束与等式约束问题，如超球面约束乘积函数。
• 为每个函数明确定义数学表达式，包括显式变量边界与全局最优解，确保可复现性。
• 纳入新型、非光滑及随机函数（如公式25与26中的随机分量），以检验算法对噪声与不可导性的鲁棒性。
• 将二维函数（如Easom函数、六峰驼峰函数）扩展为n维形式，以支持可扩展性测试。
• 采用与维度无关的公式化方法，支持从n=2到n=100+的不同问题规模测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些标准测试函数在评估新型元启发式优化算法性能方面最为有效？
• RQ2 不同函数特性（如多峰性、凸性与非光滑性）如何影响优化算法的收敛性与鲁棒性？
• RQ3 具有随机全局最优值的随机测试函数（如公式25）是否能更好地模拟现实世界中的不确定性？
• RQ4 等式约束测试函数（如公式7–8）在可行性与约束处理方面如何对算法构成挑战？
• RQ5 维度增加对Rastrigin、Schwefel及Yang的驻波函数等函数的优化难度有何影响？

主要发现

• Ackley函数在原点处具有全局最小值0，其复杂地形源于指数项与余弦项的相互作用。
• 球形函数（公式2）为单峰且凸函数，在(0, ..., 0)处具有全局最小值0，可作为单峰性能的基线。
• Rastrigin函数（公式14）表现出强烈的多峰性，具有10^n个局部极小值，其全局最小值为0，位于[-5.12, 5.12]^n区间内。
• 六峰驼峰函数（公式18）在约(-0.0898, 0.7126)与(0.0898, -0.7126)处有两个全局最小值，均对应f* ≈ -1.0316。
• Shubert函数（公式19）在n=5时具有18个全局最小值，f* ≈ -186.7309，定义域为[-10, 10]^2。
• 公式25中的随机函数在(π, π)处具有固定全局最小值，但最小值在-5与-(K²+5)之间随机变化，源于其随机分量。