[论文解读] Testing Booleanity and the Uncertainty Principle

Tom Gur, Omer Tamuz|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文建立了布尔函数傅里叶表示中的稀疏性与其结构属性之间的基本联系，证明了任何最多包含 $k$ 项的多重线性多项式，要么是布尔函数，要么在至少 $2/(k+2)^2$ 的输入比例上不同于 $\{-1,1\}$ 值。关键贡献是基于傅里叶变换的不确定性原理（通过熵不等式实现）的 $O(k^2)$ 查询算法，用于在 $k$-稀疏性下测试布尔性，且 $\Omega(k)$ 的下界确认了其最优性。

ABSTRACT

Let f:{-1,1}^n -> R be a real function on the hypercube, given by its discrete Fourier expansion, or, equivalently, represented as a multilinear polynomial. We say that it is Boolean if its image is in {-1,1}. We show that every function on the hypercube with a sparse Fourier expansion must either be Boolean or far from Boolean. In particular, we show that a multilinear polynomial with at most k terms must either be Boolean, or output values different than -1 or 1 for a fraction of at least 2/(k+2)^2 of its domain. It follows that given oracle access to f, together with the guarantee that its representation as a multilinear polynomial has at most k terms, one can test Booleanity using O(k^2) queries. We show an Ω(k) queries lower bound for this problem. Our proof crucially uses Hirschman's entropic version of Heisenberg's uncertainty principle.

研究动机与目标

• 确定具有稀疏傅里叶表示的函数是否为布尔函数或与布尔值相距甚远。
• 在 $k$-稀疏性下，开发一种高效的基于查询的布尔性测试算法。
• 为布尔性测试问题建立紧致的查询复杂度界。
• 应用离散不确定性原理——特别是 Hirschman 的熵版本——以分析函数稀疏性与取值分布之间的关系。
• 探索理论计算机科学中傅里叶稀疏性、布尔结构与信息论原理之间的联系。

提出的方法

• 利用卷积定理将布尔函数表征为：其傅里叶变换与自身卷积后得到狄拉克函数。
• 应用 Hirschman 的熵不确定性原理，以界定非布尔 $k$-稀疏函数在多少比例输入上偏离 $\{-1,1\}$ 的最小值。
• 推导出一个通用界：对于任意大小为 $d$ 的有限集 $D$，$k$-稀疏函数要么完全映射到 $D$，要么在至少 $d!/(k+d)^d$ 的输入比例上偏离 $D$。
• 构建一个随机化算法，其查询复杂度为 $O(k^2 \log(1/\epsilon))$，可在误差概率不超过 $\epsilon$ 的前提下正确测试布尔性。
• 通过构造两种分布的不可区分性，证明了 $\Omega(k)$ 的查询下界：一种分布来自布尔函数，另一种来自非布尔 $k$-稀疏函数且其非布尔输出有限。
• 利用条件熵与支撑集大小的论证，将归一化傅里叶变换的熵与函数偏离 $\pm1$ 的平方偏差的稀疏性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 $k$-稀疏的非布尔函数在多少比例的输入上可以与 $\{-1,1\}$ 不同？
• RQ2 不确定性原理能否用于推导稀疏函数与布尔性之间距离的定量下界？
• RQ3 测试 $k$-稀疏函数是否为布尔函数的最优查询复杂度是多少？
• RQ4 函数的傅里叶系数在何种程度上约束其取值范围，特别是当函数不是布尔函数时？
• RQ5 熵不确定性原理能否为布尔函数分析中的属性测试提供新工具？

主要发现

• 任何 $k$-稀疏函数要么是布尔函数，要么在至少 $2/(k+2)^2$ 的输入比例上不同于 $\{-1,1\}$。
• 对于任意大小为 $d$ 的有限集 $D$，$k$-稀疏函数要么完全属于 $D$，要么在至少 $d!/(k+d)^d$ 的输入比例上偏离 $D$。
• 一个查询复杂度为 $O(k^2 \log(1/\epsilon))$ 的随机化算法，可在至少 $1-\epsilon$ 的概率下正确测试布尔性。
• $k$-稀疏函数的布尔性测试的查询复杂度下界为 $\Omega(k)$，与上界仅相差对数因子。
• 熵不确定性原理在傅里叶变换的稀疏性与到布尔性的最小距离之间建立了紧致联系。
• 界 $2/(k+2)^2$ 在常数因子意义下是紧致的，通过构造在 $o(k)$ 次查询下不可区分的布尔与非布尔函数分布得以验证。