[论文解读] Théorie ergodique et géométrie arithmétique

Emmanuel Ullmo|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文利用遍历理论建立了算术点在代数簇上的等分布结果，特别关注阿贝尔簇上的小高度点以及希米达簇上的赫克轨道。证明了通用的小高度点序列相对于归一化的哈尔测度等分布，为曼因-墨菲猜想提供了新证明，并通过拉特纳理论和谱方法推进了安德烈-奥特猜想。

ABSTRACT

We will present several examples in which ideas from ergodic theory can be useful to study some problems in arithmetic and algebraic geometry.

研究动机与目标

• 通过阿凯洛夫几何与遍历理论，建立阿贝尔簇上算术点（特别是小内森-塔特高度点）的等分布结果。
• 将等分布结果推广至半单代数群对应的对称空间上的赫克轨道。
• 构建一个理解希米达簇上CM点等分布的框架，连接解析数论与自守形式理论。
• 应用拉特纳理论与幂零流技术，证明希米达簇中强特殊子簇的等分布。
• 为安德烈-奥特猜想提供几何推论，表明特殊子簇的扎里斯基闭包是有限个特殊子簇的并。

提出的方法

• 利用阿凯洛夫几何定义并控制阿贝尔簇上的小高度点，将算术高度与测度论上的等分布联系起来。
• 应用自守形式的谱理论与表示论，分析局部对称空间 $\Gamma\backslash G(\mathbb{R})$ 上赫克轨道的等分布。
• 运用拉特纳关于幂零流的定理，证明 $\tilde{S} = \Gamma^+ \cap H\backslash H$ 上的不变测度弱收敛，从而在 $S = \Gamma\backslash G(\mathbb{R})$ 上实现等分布。
• 利用丹尼与马加利斯关于幂零流返回紧集的结果，控制轨道的几何结构并确保收敛性。
• 应用莫泽斯-沙阿定理，在适当条件下证明 $\tilde{S}$ 上的不变测度 $\mu_{H_n}$ 弱收敛于极限测度 $\mu_H$。
• 依赖对称空间上典范测度的理论及其在群作用下的不变性，建立等分布性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用遍历理论证明阿贝尔簇上小高度点的等分布？
• RQ2 在数域上阿贝尔簇上，小高度点的伽罗瓦轨道的等分布行为如何？
• RQ3 赫克轨道在对称空间 $\Gamma\backslash G(\mathbb{R})$ 上如何等分布？何种谱技术可控制这一过程？
• RQ4 拉特纳理论在希米达簇的子簇上可多大程度上用于证明特殊点的等分布？
• RQ5 在安德烈-奥特猜想的背景下，特殊子簇等分布结果会带来何种几何推论？

主要发现

• 单位圆上的 $n$ 次单位根在归一化的哈尔测度下等分布。
• 非CM椭圆曲线的 $n$-挠点在复环面的归一化哈尔测度下等分布。
• 对于任意定义在数域上的阿贝尔簇 $A$，任意趋于零的内森-塔特高度的通用点列，在每个复纤维 $A_\sigma(\mathbb{C})$ 上相对于归一化的哈尔测度等分布。
• 通过阿凯洛夫理论及苏皮罗、乌尔莫与张的工作，证明了阿贝尔簇上小高度点的伽罗瓦轨道也相对于同一测度等分布。
• 在适当条件下，$\Gamma\backslash G(\mathbb{R})$ 上赫克轨道相关的概率测度弱收敛于 $G$-不变测度，该结论由谱理论建立。
• 利用拉特纳理论，本文证明了希米达簇中强特殊子簇相关的测度等分布于典范的 $H$-不变测度，从而支持安德烈-奥特猜想。