[论文解读] The 1/k-Eulerian polynomials and k-Stirling permutations

Shi-Mei Ma, Toufik Mansour|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文通过证明 $A_n^{(k)}(x)$ 与 $k$-Stirling 排列中最长上升平台位置的数量之间存在组合关系，建立了 1/k-Eulerian 多项式 $A_n^{(k)}(x)$ 与 $k$-Stirling 排列之间的联系。作者通过匹配生成函数的递推关系证明了这一点，并进一步将对偶多项式 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ 与 0 扩展的 $k$-Stirling 排列联系起来。该研究统一了经典排列统计量与广义的 Stirling 和 Eulerian 结构。

ABSTRACT

In this paper, we establish a connection between the 1/k-Eulerian polynomials introduced by Savage and Viswanathan (Electron. J. Combin. 19(2012), P9) and k-Stirling permutations. We also introduce the dual set of Stirling permutations.

研究动机与目标

• 建立 1/k-Eulerian 多项式 $A_n^{(k)}(x)$ 在 $k$-Stirling 排列中的组合解释。
• 解决一个开放问题：尽管 $A_n^{(k)}(1)$ 与 $k$-Stirling 排列的数量均等于 $\prod_{i=1}^{n-1}(ik+1)$，但 $A_n^{(k)}(x)$ 是否与 $k$-Stirling 排列相关。
• 定义并分析 $k$-Stirling 排列的对偶集合（以 0 开头），并证明其生成函数与 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ 相等。
• 通过变换 $\Phi$ 将经典排列统计量——内部峰、左峰和交错轮换——统一于 $k$-Stirling 排列之上，从而将其与 $A_n^{(k)}(x)$ 及相关多项式联系起来。

提出的方法

• 将 $k$-Stirling 排列定义为集合 $\{1^k, 2^k, \dots, n^k\}$ 的排列，其中任意两个 $i$ 之间出现的元素均 $\geq i$，记该集合为 $\mathcal{Q}_n(k)$。
• 引入统计量 ${\rm ap\,}(\sigma)$，用于计算满足 $\sigma_{i-1} < \sigma_i = \sigma_{i+1} = \cdots = \sigma_{i+k-1}$ 的最长上升平台位置的数量。
• 证明 $A_n^{(k)}(x)$ 的系数满足与具有 $j$ 个最长上升平台位置的 $k$-Stirling 排列数量相同的递推关系：$T(n+1,j;k) = (1+kj)T(n,j;k) + k(n-j+1)T(n,j-1;k)$。
• 将 $\mathcal{Q}_n^0(k)$ 定义为 $\{0\sigma \mid \sigma \in \mathcal{Q}_n(k)\}$，并通过对偶递推关系证明 $x^n A_n^{(k)}(1/x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n^0(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$。
• 对 $k$-Stirling 排列应用变换 $\Phi$，将其映射到 $\mathfrak{S}_{2n}$ 中的排列，证明其像中的内部峰与左峰分别对应于 $A_n^{(k)}(x)$ 和 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$。
• 通过 $ (1+x)C_n(x) = x A_n^{(2)}(x^2) + x^{2n} A_n^{(2)}(1/x^2) $ 定义 $C_n(x)$，并证明 $C_n(x)$ 计数 $\Phi(\mathcal{Q}_n)$ 中的交错轮换数量，即 $C_n(x) = \sum_{\pi \in \Phi(\mathcal{Q}_n)} x^{{\rm run\,}(\pi)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 1/k-Eulerian 多项式 $A_n^{(k)}(x)$ 在 $k$-Stirling 排列中的组合解释？
• RQ2 能否通过 $k$-Stirling 排列上的插入规则来解释 $A_n^{(k)}(x)$ 的递推关系？
• RQ3 $\Phi$ 的像中内部峰与左峰的统计量如何与对偶多项式 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ 相关联？
• RQ4 变换 $\Phi$ 在将 $k$-Stirling 排列与交错轮换等排列统计量联系起来的过程中起什么作用？
• RQ5 生成函数 $C_n(x)$ 是否可解释为特定类排列中交错轮换数量的计数，这些排列源自 $k$-Stirling 排列？

主要发现

• 1/k-Eulerian 多项式 $A_n^{(k)}(x)$ 等于 $k$-Stirling 排列中最长上升平台位置数量的生成函数：$A_n^{(k)}(x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$。
• 对偶多项式 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ 等于 0 扩展的 $k$-Stirling 排列中最长上升平台位置数量的生成函数：$x^n A_n^{(k)}(1/x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n^0(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$。
• 当 $k=2$ 时，多项式 $A_n^{(2)}(x)$ 计数 $\Phi(\mathcal{Q}_n)$ 的像中内部峰的数量，而 $x^n A_n^{(2)}(1/x)$ 计数左峰的数量。
• 通过 $ (1+x)C_n(x) = x A_n^{(2)}(x^2) + x^{2n} A_n^{(2)}(1/x^2) $ 定义的多项式 $C_n(x)$ 计数 $\Phi(\mathcal{Q}_n)$ 中的交错轮换数量，即 $C_n(x) = \sum_{\pi \in \Phi(\mathcal{Q}_n)} x^{{\rm run\,}(\pi)}$。
• 前几项 $C_n(x)$ 具有对称性和单峰性：$C_1(x) = x$，$C_2(x) = x + x^2 + x^3$，$C_3(x) = x + 3x^2 + 7x^3 + 3x^4 + x^5$，依此类推，其系数与已知数列 A059427 和 A185410 一致。