[论文解读] The A-infinity Centre of the Yoneda Algebra and the Characteristic Action of Hochschild Cohomology on the Derived Category

Benjamin Briggs, Vincent Gélinas|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文引入了Yoneda代数的$A_{u}$-中心作为分次中心的精化，表明特征态射$\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$的像恰好位于此$A_{\infty}$-中心中。关键结果通过证明对于增强的微分分次代数，$\chi_k$映满$\mathrm{Ext}_A(k,k)$的$A_{\infty}$-中心，从而推广了Buchweitz、Green、Snashall与Solberg的Koszul对偶定理，并通过自由循环空间与交态射在拓扑学中具有应用。

ABSTRACT

For A a dg (or A-infinity) algebra and M a module over A, we study the image of the characteristic morphism $χ_M: HH^*(A, A) o Ext_A(M, M)$ and its interaction with the higher structure on the Yoneda algebra $Ext_A(M, M)$. To this end, we introduce and study a notion of A-infinity centre for minimal A-infinity algebras, agreeing with the usual centre in the case that there is no higher structure. We show that the image of $χ_M$ lands in the A-infinity centre of $Ext_A(M, M)$. When A is augmented over k, we show (under mild connectedness assumptions) that the morphism $χ_k: HH^*(A, A) o Ext_A(k,k)$ into the Koszul dual algebra lands exactly onto the A-infinity centre, generalising the situation from the Koszul case established by Buchweitz, Green, Snashall and Solberg. We give techniques for computing A-infinity centres, hence for computing the image of the characteristic morphism, and provide worked-out examples. We further study applications to topology. In particular we relate the A-infinity centre of the Pontryagin algebra to a wrong way map coming from the homology of the free loop space, first studied by Chas and Sullivan.

研究动机与目标

• 理解在$\mathrm{Ext}_A(M,M)$具有更高$A_{\infty}$-结构时，特征态射$\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$的像，超越分次中心的范围，特别是关注$A_{\infty}$-结构的影响。
• 定义并研究极小$A_{\infty}$-代数的$A_{\infty}$-中心，作为分次中心的精化，以捕捉同伦理论中的交换性。
• 推广已知结论：对于Koszul代数，$\chi_k$的像位于$\mathrm{Ext}_A(k,k)$的分次中心中；本文证明在适度连通性条件下，对任意增强的微分分次代数$A$，$\chi_k$的像恰好位于$A_{\infty}$-中心中。
• 建立Hochschild上同调、$A_{\infty}$-结构与拓扑之间的概念性联系，特别是通过自由循环空间上同调中的交态射。
• 为$A_{\infty}$-中心提供计算工具，并将其应用于示例，包括李群与形式微分分次代数。

提出的方法

• 通过$A_{\infty}$-乘积的高阶交换子引入$A_{\infty}$-中心，定义为满足$\mu_n(a,x_1,\dots,x_{n-1}) = \pm \mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},a)$（符号与同伦意义下）的元素。
• 利用微分分次或$A_{\infty}$-代数$B$的投影态射$\Pi: \mathrm{HH}^*(B,B) \to \mathrm{H}(B)$，将$A_{\infty}$-中心定义为$\Pi$的像，证明其与高阶交换子条件一致。
• 通过同构关系建立$\mathrm{HH}^*(A,A)$与$\mathrm{HH}^*(A^!,A^!)$之间的交换图，其中$A^! = \mathrm{RHom}_A(k,k)$，在$A_{\infty}$-设定下使用Félix-Menichi-Thomas同构。
• 将理论应用于增强微分分次代数$A$的Koszul对偶$A^!$，证明$\chi_k$通过$\mathrm{H}(A^!)$的$A_{\infty}$-中心因子分解，从而推广Koszul情形。
• 利用$A^!$的极小模型来内在计算$A_{\infty}$-中心，实现示例中的显式计算。
• 将自由循环空间上同调中的交态射$I: \mathrm{H}_{*+d}(LX) \to \mathrm{H}_*(\Omega X)$与特征态射联系起来，证明其像包含于$\mathrm{H}_*(\Omega X)$的$A_{\infty}$-中心中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathrm{Ext}_A(M,M)$具有$A_{\infty}$-结构时，正确推广分次中心以捕捉特征态射$\chi_M$的像的结构是什么？
• RQ2 对于增强的微分分次代数$A$，特征态射$\chi_k: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(k,k)$是否恰好落在$\mathrm{H}(A^!)$的$A_{\infty}$-中心中？
• RQ3 该$A_{\infty}$-中心如何与Koszul对偶中的经典构造及Hochschild上同调的特征作用相联系？
• RQ4 能否显式计算$A_{\infty}$-中心？其对自由循环空间拓扑有何影响？
• RQ5 自由循环空间上同调中的交态射与Pontryagin代数的$A_{\infty}$-中心之间有何关系？

主要发现

• 特征态射$\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$的像恰好位于$\mathrm{H}(\mathrm{RHom}_A(M,M))$的$A_{\infty}$-中心中，精化了已知的分次中心包含关系。
• 对于任意在域$k$上、其增强理想幂零的增强微分分次代数$A$，态射$\chi_k: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(k,k)$的像恰好位于$\mathrm{H}(A^!)$的$A_{\infty}$-中心中，推广了Koszul情形。
• $A_{\infty}$-代数的$A_{\infty}$-中心定义为投影映射$\Pi: \mathrm{HH}^*(B,B) \to \mathrm{H}(B)$的像，且与所有高阶乘积同伦交换的元素集合一致。
• 同构$\mathrm{HH}^*(A,A) \cong \mathrm{HH}^*(A^!,A^!)$诱导出一个交换图，包含$\chi$与$\Pi$，为广义Koszul对偶结果提供了概念性证明。
• 在特征零下，态射$\chi: \mathrm{HH}^*(A,A) \to A^!$是满射当且仅当$A$与具有平凡微分的对称代数在同伦意义下等价，这对应于$A^!$为$A_{\infty}$-交换。
• 交态射$I: \mathrm{H}_{*+d}(LX) \to \mathrm{H}_*(\Omega X)$是满射当且仅当$X$在有理同伦意义下同伦等价于奇维球面的乘积，这与$A_{\infty}$-中心在$\pi_*(\Omega X) \otimes k$的李代数为交换代数时恰好变大相一致。