[论文解读] The Abel-Jacobi map for a cubic threefold and periods of Fano threefolds of degree 14

Atanas Iliev, Dimitri Markushevich|ArXiv.org|Oct 11, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文研究了光滑三次三复形上椭圆五次曲线族与有理四次曲线族的阿贝尔-雅可比映射，证明其一般纤维分别同构于射影空间与三次三复形的双有理模型。本文建立模空间与中间雅可比簇之间的双有理关系，即秩为2、c₁=0、c₂=2的向量丛模空间双有理同构于中间雅可比簇，从而表明14次法诺三复形的周期映射的一般纤维双有理同构于该雅可比簇。

ABSTRACT

The Abel-Jacobi maps of the families of elliptic quintics and rational quartics lying on a smooth cubic threefold are studied. It is proved that their generic fiber is the 5-dimensional projective space for quintics, and a smooth 3-dimensional variety birational to the cubic itself for quartics. The paper is a continuation of the recent work of Markushevich-Tikhomirov, who showed that the first Abel-Jacobi map factors through the moduli component of stable rank 2 vector bundles on the cubic threefold with Chern numbers $c_1=0, c_2=2$ obtained by Serre's construction from elliptic quintics, and that the factorizing map from the moduli space to the intermediate Jacobian is étale. The above result implies that the degree of the étale map is 1, hence the moduli component of vector bundles is birational to the intermediate Jacobian. As an applicaton, it is shown that the generic fiber of the period map of Fano varieties of degree 14 is birational to the intermediate Jacobian of the associated cubic threefold.

研究动机与目标

• 分析三次三复形上椭圆五次曲线族的阿贝尔-雅可比映射的几何性质。
• 确定这些阿贝尔-雅可比映射的一般纤维的结构。
• 建立秩为2、c₁=0、c₂=2的向量丛模空间与三次三复形中间雅可比簇之间的双有理关系。
• 将此结果应用于14次法诺三复形的周期映射，确定其一般纤维的结构。

提出的方法

• 利用塞尔构造，将三次三复形上的椭圆五次曲线与稳定秩2向量丛（c₁=0，c₂=2）关联起来。
• 分析从椭圆五次曲线族到三次三复形中间雅可比簇的阿贝尔-雅可比映射。
• 应用马尔库舍维奇-蒂霍米罗夫的结果，表明阿贝尔-雅可比映射可通过向量丛模空间进行分解。
• 证明从模空间到中间雅可比簇的分解映射是平的且次数为1，因此是双有理映射。
• 利用模空间与中间雅可比簇之间的双有理关系，分析14次法诺三复形的周期映射。
• 应用双有理几何与周期映射理论，将周期映射的一般纤维与中间雅可比簇联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 三次三复形上椭圆五次曲线的阿贝尔-雅可比映射的一般纤维具有何种结构？
• RQ2 三次三复形上有理四次曲线的阿贝尔-雅可比映射的一般纤维具有何种结构？
• RQ3 三次三复形上秩为2、c₁=0、c₂=2的向量丛模空间是否双有理同构于其中间雅可比簇？
• RQ4 三次三复形的中间雅可比簇如何与14次法诺三复形的周期映射相关联？
• RQ5 14次法诺三复形的周期映射的一般纤维具有何种几何性质？

主要发现

• 三次三复形上椭圆五次曲线的阿贝尔-雅可比映射的一般纤维同构于5维射影空间。
• 三次三复形上有理四次曲线的阿贝尔-雅可比映射的一般纤维是一个光滑的3维代数簇，双有理同构于三次三复形本身。
• 三次三复形上稳定秩2向量丛（c₁=0，c₂=2）的模空间双有理同构于其中间雅可比簇。
• 从该模空间到中间雅可比簇的分解映射是平的且次数为1，从而确认了双有理等价性。
• 14次法诺三复形的周期映射的一般纤维双有理同构于其对应三次三复形的中间雅可比簇。
• 该结果建立了14次法诺三复形的几何结构与对应三次三复形中间雅可比簇之间的直接双有理联系。