[论文解读] The adjoint braid arrangement as a combinatorial Lie algebra via the Steinmann relations

Zhengwei Liu, William Norledge+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文证明了在 Steinmann 关系模掉后，伴随辫子排列在向量种类的范畴内自然地携带一个李代数结构，其基础是作用于分段常数函数上的离散导数算子。关键结果是满足 Steinmann 关系的函数在森林导数下可分解，而该结构通过森林导数赋予排列以李代数结构，其对偶为标准的李树表示。

ABSTRACT

We study a certain discrete differentiation of piecewise-constant functions on the adjoint of the braid hyperplane arrangement, defined by taking finite-differences across hyperplanes. In terms of Aguiar-Mahajan's Lie theory of hyperplane arrangements, we show that this structure is equivalent to the action of Lie elements on faces. We use layered binary trees to encode flags of adjoint arrangement faces, allowing for the representation of certain Lie elements by antisymmetrized layered binary forests. This is dual to the well-known use of (delayered) binary trees to represent Lie elements of the braid arrangement. The discrete derivative then induces an action of layered binary forests on piecewise-constant functions, which we call the forest derivative. Our main result states that forest derivatives of functions factorize as external products of functions precisely if one restricts to functions which satisfy the Steinmann relations, which are certain four-term linear relations appearing in the foundations of axiomatic quantum field theory. We also show that the forest derivative satisfies the Lie properties of antisymmetry the Jacobi identity. It follows from these Lie properties, and also crucially factorization, that functions which satisfy the Steinmann relations form a left comodule of the Lie cooperad, with the coaction given by the forest derivative. Dually, this endows the adjoint braid arrangement modulo the Steinmann relations with the structure of a Lie algebra internal to the category of vector species. This work is a first step towards describing new connections between Hopf theory in species and quantum field theory.

研究动机与目标

• 通过伴随辫子排列，在向量种类的语境中建立李代数结构的几何与代数实现。
• 定义并分析作用于伴随辫子排列上分段常数函数的离散导数算子——称为森林导数。
• 证明满足 Steinmann 关系的函数正是那些其森林导数尊重外部分解的函数。
• 证明森林导数满足反对称性与雅可比恒等式，从而构成一个李代数结构。
• 对构造进行对偶化，证明满足 Steinmann 关系的函数空间构成李余配代数上的左 comodule，从而在种类范畴内生成一个李代数。

提出的方法

• 离散导数被定义为作用于伴随辫子排列超平面之间的有限差分算子，作用于分段常数函数上。
• 分层二叉树被用于编码伴随排列中面的旗结构，为李元素提供组合基。
• 森林导数被构造为对反对称化分层二叉森林在函数上的作用，推广了标准李元素作用。
• Steinmann 关系被引入为四项线性关系，用于刻画其森林导数可分解为外部乘积的函数。
• 通过分层树上的组合恒等式，验证森林导数的反对称性与雅可比恒等式，从而推导出李代数结构。
• 应用对偶性，证明森林导数的对偶给出函数空间上的李余代数结构，而由此产生的 comodule 结构导致在种类范畴内的李代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过离散微分使伴随辫子排列具备李代数结构？
• RQ2 Steinmann 关系在确保森林导数可分解方面起什么作用？
• RQ3 分层二叉森林如何在辫子排列对偶空间中表示李元素？
• RQ4 森林导数在何种意义上是作用于分段常数函数空间上的李代数作用？
• RQ5 由森林导数诱导的 comodule 结构如何导致在种类范畴内的李代数？

主要发现

• 当且仅当函数满足 Steinmann 关系时，其森林导数可分解为外部乘积。
• 森林导数满足反对称性与雅可比恒等式，确认其为函数空间上的李代数作用。
• 满足 Steinmann 关系的函数构成李余配代数上的左 comodule，其 coaction 由森林导数给出。
• 森林导数的对偶在模去 Steinmann 关系的泛函空间上给出李余代数结构。
• 在模去 Steinmann 关系后，伴随辫子排列在种类范畴内自然地携带一个李代数结构，其通过森林导数实现。
• 该构造为 Aguiar-Mahajan 理论中的一个中心李代数提供了新的几何实现，将组合 Hopf 理论与公理化量子场论联系起来。