[论文解读] The almost mobility edge in the almost Mathieu equation

Yi Zhang, Daniel Bulmash+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

Quantum and electron transport phenomena被引用 5

一句话总结

该论文揭示，在小非公度波数 $ Q \ll 2\pi $ 的准马蒂厄方程中，能带边缘附近的态在 $ V < 2t $ 时并非真正扩展，而是形成具有极大有效质量的指数窄能带，由于磁穿隧效应而表现为“近乎局域”态。这些态在原则上是鲁棒扩展的，但在物理微扰下有效局域化，从而在 $ E_c = 2t - V $ 处引入有效迁移率边，解决了局域化-非局域化相变中长期存在的悖论。

ABSTRACT

Harper's equation (aka the "almost Mathieu" equation) famously describes the quantum dynamics of an electron on a one dimensional lattice in the presence of an incommensurate potential with magnitude $V$ and wave number $Q$. It has been proven that all states are delocalized if $V$ is less than a critical value $V_c=2t$ and localized if $V&gt; V_c$. Here, we show that this result (while correct) is highly misleading, at least in the small $Q$ limit. In particular, for $VE_c$, form a set of narrow bands with exponentially small bandwidths $ \sim t\ \exp[-(2πα/Q)]$ (where $α$ is an energy dependent number of order 1) separated by band-gaps $ \sim t Q$. Thus, the states with $|E|&gt; E_c$ are "almost localized" in that they have an exponentially large effective mass and are easily localized by small perturbations. We establish this both using exact numerical solution of the problem, and by exploiting the well known fact that the same eigenvalue problem arises in the Hofstadter problem of an electron moving on a 2D lattice in the presence of a magnetic field, $B=Q/2π$. From the 2D perspective, the almost localized states are simply the Landau levels associated with semiclassical precession around closed contours of constant quasiparticle energy; that they are not truly localized reflects an extremely subtle form of magnetic breakdown.

研究动机与目标

• 解决已知 $ V < 2t $ 时所有态均为扩展态的定理与数值模拟中观察到的能带边缘附近类似局域行为之间的明显矛盾。
• 阐明小 $ Q $ 极限下 $ |E| > E_c $ 态的物理本质，表明它们并非真正局域，而是由于能带宽度指数极小而表现为“近乎局域”。
• 通过数值方法与二维霍夫施塔特模型的双重视角，建立 $ V < 2t $ 时在 $ E_c = 2t - V $ 处存在有效迁移率边的证据。
• 证明半经典分析因可计算的磁穿隧效应而失效，从而解释具有极大有效质量的窄能带的出现。
• 调和准马蒂厄方程的自对偶性与有限分辨率实验中的可观测性之间的关系。

提出的方法

• 通过高精度数值对角化哈珀哈密顿量，识别本征态的局域性质。
• 将一维哈珀方程映射到磁通 $ B = Q/2\pi $ 的二维霍夫施塔特问题，从而借助朗道能级物理进行分析。
• 对霍夫施塔特模型应用半经典分析，识别恒定准粒子能量的闭合轨迹，其对应于朗道能级。
• 利用准马蒂厄方程的自对偶性，关联弱势场（$ V < 2t $）与强势场（$ V > 2t $）区域。
• 从能带宽度标度推导出近乎局域态的有效质量 $ m^* \sim t^{-1} \exp[(2\alpha\pi/Q)] $，其中 $ \alpha \sim \mathcal{O}(1) $。
• 分析能隙和局域化长度的微扰结构，表明其为指数极小值，在有限分辨率下不可观测。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何数值研究在 $ V < 2t $ 时显示类似局域的行为，尽管定理表明所有态均为扩展？
• RQ2 在小 $ Q $ 极限下，$ E_c = 2t - V $ 处表观迁移率边的物理起源是什么？
• RQ3 为何 $ |E| > E_c $ 的态在原则上是扩展的，却在物理微扰下表现如局域态？
• RQ4 磁穿隧在能带边缘附近态的微妙非局域化中起何种作用？
• RQ5 二维霍夫施塔特模型视角如何解释具有指数极小能带宽度的窄能带的出现？

主要发现

• 对于 $ V < 2t $ 且 $ Q \ll 2\pi $，满足 $ |E| > E_c = 2t - V $ 的态形成指数窄能带，能带宽度为 $ \sim t \exp[-(2\pi\alpha/Q)] $，其中 $ \alpha \sim \mathcal{O}(1) $。
• 这些态具有有效质量 $ m^* \sim t^{-1} \exp[(2\alpha\pi/Q)] $，使其极易受微小扰动影响而局域化。
• 这些态并非真正局域，而是由于二维霍夫施塔特图像中微妙的磁穿隧效应而表现为“近乎局域”。
• 表观迁移率边 $ E_c = 2t - V $ 是一种有效物理现象，而非真正的迁移率边，其源于有限能量分辨率与系统尺寸。
• 在 $ V < 2t $ 与 $ V > 2t $ 区域之间的对偶性揭示了在 $ E_c = V - 2t $ 处的交叉，该处与实空间费米面的出现相关。
• 当 $ n $ 个朗道能级被填充时，系统中的绝热泵浦每原胞可传输 $ n $ 个电子，将该模型与量子霍尔效应及外尔半金属联系起来。