[论文解读] The almost sure invariance principle for unbounded functions of expanding maps

Jérôme Dedecker, Sébastien Gouëzel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 5

一句话总结

该论文在两类一维扩张映射——具有BV空间中谱间隙的均匀扩张映射，以及在零处具有中性不动点的映射——上，于弱正则性条件下，为$L^2$-范数中无界可观测函数建立了误差率为$o(\sqrt{n\ln\ln n})$的几乎必然不变性原理。通过结合逼近技巧与最大不等式，该研究将不变性原理扩展至$L^2$边界情形，此前因缺乏一致可积性而使已有方法失效。

ABSTRACT

We consider two classes of piecewise expanding maps $T$ of $[0,1]$: a class of uniformly expanding maps for which the Perron-Frobenius operator has a spectral gap in the space of bounded variation functions, and a class of expanding maps with a neutral fixed point at zero. In both cases, we give a large class of unbounded functions $f$ for which the partial sums of $f\\circ T^i$ satisfy an almost sure invariance principle. This class contains piecewise monotonic functions (with a finite number of branches) such that: - For uniformly expanding maps, they are square integrable with respect to the absolutely continuous invariant probability measure. - For maps having a neutral fixed point at zero, they satisfy an (optimal) tail condition with respect to the absolutely continuous invariant probability measure.

研究动机与目标

• 为分段扩张映射在$L^2$-边界情形下建立无界函数的几乎必然不变性原理。
• 解决一个开放问题：当可观测函数仅为平方可积时，不变性原理是否能以误差率$o(\sqrt{n\ln\ln n})$成立。
• 将先前针对$L^p$-可积可观测函数（$p>2$）的强不变性原理结果，推广至临界的$L^2$-情形。
• 提出一种基于逼近与最大不等式的通用方法，将良好行为函数的结果转移至$L^2$-边界情形。

提出的方法

• 通过一列有界、分段单调的函数$\bar{f}_m$逼近$L^2$-可观测函数$f$，以获得更好的可积性。
• 利用Merlevède与Rio（2012）在$L^p$-可积性（$p>2$）条件下建立的$\bar{f}_m$的几乎必然不变性原理。
• 应用最大不等式与耦合论证，控制部分和过程中$f$与$\bar{f}_m$之间的差异。
• 利用余项$g_m = f - \bar{f}_m$的有界迭代对数定律（BLIL）来控制不变性原理中的误差。
• 利用有界变差函数空间中的谱间隙估计，控制$\|K^n(g) - \nu(g)\|_{L^2}$对$g \in \text{Mon}^c_2(M,\nu)$的衰减。
• 通过证明$\sigma^2(g_m) \to 0$，利用$\phi_{1,\mathbf{Y}}(n)$的指数衰减，建立方差$\sigma_m^2 \to \sigma^2$的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在BV空间中具有谱间隙的均匀扩张映射上，为$L^2$-可观测函数建立误差率为$o(\sqrt{n\ln\ln n})$的几乎必然不变性原理？
• RQ2 在零处具有中性不动点的映射上，当可观测函数满足最优尾部条件时，$L^2$-可观测函数的几乎必然不变性原理是否成立？
• RQ3 当一致可积性不成立时，能否使用逼近与最大不等式技术处理$L^2$-边界情形？
• RQ4 有界迭代对数定律是否足以将不变性原理从逼近函数转移到原始的$L^2$-可观测函数？
• RQ5 极限布朗运动的方差是否可作为逼近过程方差序列的极限恢复？

主要发现

• 对于具有BV空间中谱间隙的均匀扩张映射，所有$f \in L^2(\nu)$的几乎必然不变性原理均以误差率$o(\sqrt{n\ln\ln n})$成立。
• 对于在零处具有中性不动点的映射，所有满足关于不变测度最优尾部条件的$f \in L^2(\nu)$，其不变性原理均成立。
• 在具有谱间隙的均匀扩张映射上，$L^2$-可观测函数的有界迭代对数定律已建立，这是证明中的关键要素。
• 极限布朗运动的方差是逼近过程方差序列的$L^2$-极限，且方差序列的收敛性由$\phi_{1,\mathbf{Y}}(n)$的指数衰减保证。
• 该方法成功地通过逼近与最大不等式，将不变性原理从具有良好性质的函数稠密类转移到完整的$L^2$-边界情形。
• 证明依赖于Perron-Frobenius算子的谱间隙以及$\phi$-混合系数的指数衰减，确保了Gordin型级数在$L^2$中的收敛性。