[论文解读] The approach to equilibrium in a macroscopic quantum system for a typical nonequilibrium subspace

Sheldon Goldstein, Takashi Hara+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 6

一句话总结

本文证明，在宏观量子系统中，由于随机子空间的统计性质以及随机投影矩阵的Hadamard积，典型非平衡子空间会因热化而迅速达到平衡——时间尺度约为Boltzmann时间 $\tau_{\mathrm{B}} = h/(k_{\mathrm{B}}T)$。关键结果是快速平衡化具有普遍性，意味着在这一抽象设定下，自然界中观察到的缓慢弛豫并非典型情况。

ABSTRACT

We study the problem of the approach to equilibrium in a macroscopic quantum system in an abstract setting. We prove that, for a typical choice of "nonequilibrium subspace", any initial state (from the energy shell) thermalizes, and in fact does so very quickly, on the order of the Boltzmann time $\ au__\\mathrm{B}:=h/(k_\\mathrm{B}T)$. This apparently unrealistic, but mathematically rigorous, conclusion has the important physical implication that the moderately slow decay observed in reality is not typical in the present setting. The fact that macroscopic systems approach thermal equilibrium may seem puzzling, for example, because it may seem to conflict with the time-reversibility of the microscopic dynamics. According the present result, what needs to be explained is, not that macroscopic systems approach equilibrium, but that they do so slowly. Mathematically our result is based on an interesting property of the maximum eigenvalue of the Hadamard product of a positive semi-definite matrix and a random projection matrix. The recent exact formula by Collins for the integral with respect to the Haar measure of the unitary group plays an essential role in our proof.

研究动机与目标

• 理解在一般条件下，孤立宏观量子系统热化的时间尺度。
• 研究尽管量子动力学具有时间可逆性，宏观系统为何通常缓慢趋向平衡。
• 确定在量子统计力学的抽象框架下，缓慢弛豫是否典型或仅为例外。
• 分析非平衡子空间的选择对决定平衡化时间的影响。
• 利用随机矩阵理论和群积分，建立典型非平衡子空间下快速热化具有普遍性的结论。

提出的方法

• 将趋向平衡的过程表述为时间演化态在能量壳 $\mathcal{H}$ 内的 $d$-维非平衡子空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ 上投影的衰减。
• 使用正半定矩阵与随机投影矩阵的Hadamard积来建模典型子空间的统计行为。
• 应用Collins的精确公式计算酉群上关于Haar测度的矩阵范数期望值，该公式适用于积分。
• 运用对称群理论中的组合工具，包括循环分解和置换恒等式，以界定矩阵积分。
• 利用随机子空间的谱性质，推导出投影到 $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ 上的期望值的精确渐近估计。
• 证明对于典型子空间，弛豫时间上界为 $\tau_{\mathrm{B}} = h/(k_{\mathrm{B}}T)$，且与系统尺寸或 $d$ 无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在真实宏观系统中观察到的缓慢趋向平衡，在抽象量子力学框架下是否具有典型性？
• RQ2 当初始态位于典型非平衡子空间时，热化的时间尺度通常为多长？
• RQ3 非平衡子空间的选择如何影响宏观量子系统中的弛豫动力学？
• RQ4 某些模型中观察到的快速平衡化能否被解释为典型子空间的普遍特征？
• RQ5 随机矩阵性质与对称群积分在决定平衡化时间方面起什么作用？

主要发现

• 对于典型的 $d$-维非平衡子空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$，能量壳 $\mathcal{H}$ 中的任意初始态均在Boltzmann时间 $\tau_{\mathrm{B}} = h/(k_{\mathrm{B}}T)$ 内快速热化。
• 对于典型子空间，弛豫时间的上界为 $\tau_{\mathrm{B}}$，与 $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ 的维数 $d$ 或 $\mathcal{H}$ 的总维数 $D$ 无关。
• 该结果意味着，在此抽象设定下，自然界中观察到的缓慢平衡化并非典型，而只是由于 $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ 的特殊结构所致。
• 证明依赖于Collins公式在酉群积分中的新颖应用，以及对称群 $\mathfrak{S}_n$ 相关的组合恒等式。
• 证明了正半定矩阵与随机投影矩阵的Hadamard积的最大特征值会迅速衰减，从而支撑快速热化。
• 分析表明，$\langle \varphi(t), \hat{P}_{\mathrm{neq}} \varphi(t) \rangle$ 的期望值在 $\tau_{\mathrm{B}}$ 量级上变得可忽略，表明系统已达到平衡。