[论文解读] The area rule for circulation in three-dimensional turbulence

Kartik P. Iyer, Sachin S. Bharadwaj+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文研究三维湍流中的面积律，提出闭合环路的环流概率密度函数（PDF）仅取决于该环路所张成的最小曲面面积，而与环路形状无关。通过高分辨率直接数值模拟（DNS）与高斯随机场（GRF）对比，结果表明归一化环流矩在不同环路几何形状下近乎普适，偏差低于5%，支持面积律在高阶统计量中的鲁棒性，并凸显最小曲面在湍流动力学中的核心作用。

ABSTRACT

An important idea underlying a plausible dynamical theory of circulation in three-dimensional turbulence is the so-called Area Rule, according to which the probability density function (PDF) of the circulation around closed loops depends only on the minimal area of the loop, not its shape. We assess the robustness of the Area Rule, for both planar and non-planar loops, using high-resolution data from Direct Numerical Simulations. For planar loops, the circulation moments for rectangular shapes match those for the square with only small differences, these differences being larger when the aspect ratio is further from unity, and when the moment-order increases. The differences do not exceed about $5\%$ for any condition examined here. The aspect-ratio dependence observed for the second-order moment are indistinguishable from results for the Gaussian Random Field (GRF) with the same two-point correlation function (for which the results are order-independent by construction). When normalized by the SD of the PDF, the aspect ratio dependence is even smaller $(< 2\%)$ but does not vanish unlike for the GRF. We obtain circulation statistics around minimal area loops in three dimensions and compare them to those of a planar loop circumscribing equivalent areas, and we find that circulation statistics match in the two cases only when normalized by an internal variable such as the SD. This work highlights the hitherto unknown connection between minimal surfaces and turbulence.

研究动机与目标

• 检验面积律——即环流PDF仅取决于最小曲面面积——在三维湍流中平面与非平面环路的鲁棒性。
• 确定当环流统计量通过内部变量（如标准差）归一化后，是否与环路几何形状无关。
• 探讨最小曲面在湍流动力学中的作用，特别是与涡度和涡量平方（enstrophy）标度的关系。
• 将三维不可压缩纳维-斯托克斯方程的DNS数据与合成的高斯随机场（GRF）进行比较，以分离动力学效应与运动学效应。
• 评估环流矩的普适标度是否支持最小曲面与湍流中间歇性之间更深层次的联系。

提出的方法

• 对大尺度能量输入下的三维不可压缩纳维-斯托克斯方程进行高分辨率直接数值模拟（DNS），以维持湍流的稳态。
• 构建一个与DNS具有相同两点速度相关性和尺度范围的合成、无散度高斯随机场（GRF），用于对比。
• 利用斯托克斯定理计算不同平面与非平面环路的环流Γ(C)，将其与通过最小曲面的涡度通量相关联。
• 分析不同环路形状与最小面积下的环流概率密度函数（PDF）及其矩。
• 通过标准差对环流矩进行归一化，以检验其与环路几何形状无关的普适性。
• 对比DNS与GRF的归一化矩比和PDF尾部分布，以分离湍流中非高斯的、动力学的特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维湍流中，环流PDF是否如面积律所预测的那样，仅取决于环路的最小曲面面积，而与环路形状无关？
• RQ2 对于平面环路，环流矩如何随环路长宽比变化？其与高斯统计的偏离程度如何？
• RQ3 当通过内部变量归一化后，环流PDF在不同环路几何形状下是否具有普适性，特别是在高阶矩中？
• RQ4 对于具有相同最小面积的非平面环路，其环流统计量与平面环路相比如何？环路取向在其中起什么作用？
• RQ5 当通过局部涡度或涡量平方归一化后，环流PDF的尾部是否可用单一函数形式统一描述，表明更深层次的普适标度？

主要发现

• 对于平面环路，矩形与正方形的环流矩在所有测试的长宽比与矩阶数下差异小于5%，且随着矩阶数升高和长宽比偏离1，偏差略有增加。
• 二阶矩的长宽比依赖性与具有相同两点相关性的高斯随机场（GRF）无法区分，表明该效应具有运动学起源。
• 通过标准差归一化后，长宽比依赖性降至2%以下，尽管未完全消失——与GRF情况不同——表明存在非平凡的动力学贡献，超越高斯性。
• 对于具有相同最小面积的非平面环路，其环流PDF与平面环路相比存在更显著差异，但其归一化PDF可完全重合，表明归一化恢复了普适性。
• 不同环路的归一化高阶矩比在误差范围内完全重合，最高达12阶，证实当通过内部变量归一化后，环流PDF的形状在不同环路几何中保持不变。
• 环流PDF的尾部符合接近αexp(−b|Γ|)/√|Γ|的形式，表明呈指数衰减，与速度差分需采用拉伸指数拟合不同，表明环流具有独特的统计行为。