[论文解读] The Arnold-Givental conjecture and moment Floer homology

Urs Frauenfelder|ArXiv.org|Sep 23, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 20

一句话总结

本文通过一种名为时刻弗洛尔同调（moment Floer homology）的新同调理论，证明了在马斯德伦-魏斯特定比商中，作为反辛对合的不动点出现的拉格朗日子流形的阿诺德-吉文塔尔猜想。作者通过在带上解对称规范场方程（其紧致性优于标准弗洛尔方程）来定义边界算子，建立了时刻弗洛尔同调与以诺维科夫环为系数的奇异同调之间的同构，从而在无需单调性假设的前提下验证了该猜想。

ABSTRACT

We prove the Arnold-Givental conjecture for a class of Lagrangian submanifolds in Marsden-Weinstein quotients which are fixpoint sets of some antisymplectic involution. For these Lagrangians the Floer homology cannot in general be defined by standard means due to the bubbling phenomenon. To overcome this difficulty we consider moment Floer homology whose boundary operator is defined by counting solutions of the symplectic vortex equations on the strip which have better compactness properties than the original Floer equations.

研究动机与目标

• 证明在马斯德伦-魏斯特定比商中，作为反辛对合不动点的拉格朗日子流形的阿诺德-吉文塔尔猜想。
• 克服在这些情形下由于暴肤（bubbling）导致的标准弗洛尔同调失效的问题。
• 发展并应用时刻弗洛尔同调作为具有更好紧致性性质的新同调理论。
• 消除先前证明该猜想时所需的单调性假设。

提出的方法

• 定义由拉格朗日子流形与其哈密顿像在马斯德伦-魏斯特定比商中的交点生成的链复形。
• 通过计数带上解的对称规范场方程来构造边界算子，这些方程包含弗洛尔方程的等变版本以及一个时刻映射曲率条件。
• 在底空间流形的拓扑限制下，建立解的模空间的紧致性。
• 使用 [FOn] 式的抽象扰动方法，在非通用几乎复结构下实现横截性。
• 应用带级联的莫尔斯-博特定理来计算哈密顿量为零时的同调，将其视为无限维莫尔斯-博特情形。
• 定义一个诺维科夫环以处理无限维情形，并确保边界算子的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设单调性的前提下，证明马斯德伦-魏斯特定比商中作为反辛对合不动点的拉格朗日子流形的阿诺德-吉文塔尔猜想？
• RQ2 当由于暴肤导致标准横截性和紧致性失效时，弗洛尔同调应如何定义与计算？
• RQ3 对称规范场方程在为这类拉格朗日子流形构造良好定义的同调理论中起什么作用？
• RQ4 在此设定下，时刻弗洛尔同调是否同构于以诺维科夫环为系数的奇异同调？
• RQ5 带级联的莫尔斯-博特定理能否被推广至无限维情形，以计算时刻弗洛尔同调的同调？

主要发现

• 对于作为马斯德伦-魏斯特定比商中反辛对合不动点的拉格朗日子流形，阿诺德-吉文塔尔猜想成立，交点数目的下界由拉格朗日子流形的 Z2 贝蒂数之和给出。
• 时刻弗洛尔同调与以诺维科夫环为系数的拉格朗日子流形的奇异同调同构，确立了一个强拓扑不变量。
• 由于带上解的对称规范场方程的解的模空间具有紧致性，时刻弗洛尔同调中的边界算子是良定义的。
• 在莫尔斯-博特定理中使用级联方法，即使在无限维情形下也能实现一般横截性。
• 该证明消除了先前工作中所需的单调性假设，从而扩大了该猜想的适用范围。
• 该构造表明，时刻弗洛尔同调在暴肤阻碍标准方法的场合，为标准弗洛尔同调提供了一个稳健的替代方案。