[论文解读] The average size of the 5-Selmer group of elliptic curves is 6, and the average rank is less than 1

Manjul Bhargava, Arul Shankar|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 48

一句话总结

该论文证明了按高度排序的ℚ上椭圆曲线的5-Selmer群的平均大小恰好为6，验证了Poonen–Raines推测的一个特例。利用该结果及关于根数的新型等分布结果，作者证明ℚ上椭圆曲线的平均秩小于0.885，其中至少83.75%的曲线秩为0或1，且至少20.62%的曲线秩为0。

ABSTRACT

In this article, we prove that the average rank of elliptic curves over $\mathbb{Q}$, when ordered by height, is less than $1$ (in fact, less than $.885$). As a consequence of our methods, we also prove that at least four fifths of all elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank either 0 or 1; furthermore, at least one fifth of all elliptic curves in fact have rank 0. The primary ingredient in the proofs of these theorems is a determination of the average size of the $5$-Selmer group of elliptic curves over $\mathbb{Q}$; we prove that this average size is $6$. Another key ingredient is a new lower bound on the equidistribution of root numbers of elliptic curves; we prove that there is a family of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ having density at least $55\%$ for which the root number is equidistributed.

研究动机与目标

• 确定按高度排序的ℚ上椭圆曲线的5-Selmer群的平均大小。
• 建立ℚ上椭圆曲线平均秩的上界，证明其小于1。
• 证明存在正密度的椭圆曲线其秩为0或1，且其中相当大比例的曲线秩为0。
• 确认p=5时Poonen–Raines推测的特例，即预测p-Selmer群的平均大小为p+1。
• 证明在一大类椭圆曲线中根数的等分布性，从而为Selmer秩和秩分布提供界限。

提出的方法

• 通过椭圆曲线的局部可解5-覆盖参数化5-Selmer群的元素，使用椭圆曲线的亏格一曲线的几何模型。
• 利用整系数二元型与不变量理论对5-覆盖进行参数化，从而在同余族中统一计数5-Selmer元素。
• 利用在任意同余族中5-Selmer群的平均大小恒为6这一事实，且该结果与条件无关。
• 利用Dokchitser–Dokchitser定理，将根数与5-Selmer秩的奇偶性联系起来，从而将根数的等分布性与Selmer秩的界限关联。
• 在密度至少为55.01%的族中，结合5-Selmer群的平均大小与根数的等分布性，通过加权平均法界定平均秩。
• 应用5-Selmer群大小与根数奇偶性的不等式约束，推导出秩为0或1的曲线密度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当按高度排序时，ℚ上椭圆曲线的5-Selmer群的平均大小是多少？
• RQ2 在相同排序下，ℚ上椭圆曲线的平均秩是多少，且能否给出其上界？
• RQ3 ℚ上椭圆曲线中秩为0或1的比例是多少，秩为0的曲线的最小密度是多少？
• RQ4 在一大类椭圆曲线中根数的等分布性是否意味着对平均5-Selmer秩的界限？
• RQ5 5-Selmer群平均大小为6是否验证了p=5时Poonen–Raines推测？

主要发现

• 按高度排序的ℚ上椭圆曲线的5-Selmer群的平均大小恰好为6。
• ℚ上椭圆曲线的平均秩小于0.885，这是首次无条件证明平均秩为有限且小于1的结论。
• 按高度排序时，至少83.75%的ℚ上椭圆曲线秩为0或1。
• 至少20.62%的ℚ上椭圆曲线秩为0；在Tate–Shafarevich群有限的假设下，至少26.12%的曲线秩为1。
• 在由A和B系数的有限个同余条件定义的任意椭圆曲线族中，5-Selmer群的平均大小恒为6。
• 在根数等分布（50%为+1，50%为−1）的族中，5-Selmer秩的平均值≤0.75，且至少7/8的曲线其5-Selmer秩为0或1。