[论文解读] The Bernstein center of the category of smooth $W(k)[GL_n(F)]$-modules

David Helm|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 28

一句话总结

本文为光滑 $W(k)[\operatorname{GL}_n(F)]$-模的范畴建立了伯恩斯坦分解，其中 $F$ 是一个 $p$-进域，$k$ 是特征为 $\ell \neq p$ 的代数闭域。证明了每个块的中心是一个约化、$\ell$-挠自由、有限型 $W(k)$-代数，其 $k$-点与超临界支持一一对应，并通过对称多项式和不变子环给出了该中心的显式描述。

ABSTRACT

We consider the category of smooth $W(k)[GL_n(F)]$-modules, where F is a p-adic field and k is an algebraically closed field of characteristic l different from p. We describe a factorization of this category into blocks, and show that the center of each block is a reduced, finite type, l-torsion free W(k)-algebra. Moreover, the k-points of the center of each block are in bijection with the possible "supercuspidal supports" of the smooth $k[GL_n(F)]$-modules that lie in the block. Finally, we describe a large, explicit subalgebra of the center of each block and give a description of the action of this subalgebra on the simple objects of the block, in terms of the description of the classical "characteristic zero" Bernstein center.

研究动机与目标

• 将伯恩斯坦-德利涅关于伯恩斯坦中心的理论从复表示推广到 $W(k)$ 上的光滑表示，其中 $W(k)$ 是一个 $\ell$-进域的整数环。
• 为 $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-模定义模 $\ell$ 惯性超临界支持的概念，将经典概念推广至整数情形。
• 将光滑 $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-模的范畴分解为由超临界对 $(L,\pi)$ 的惯性等价类索引的块。
• 将每个块的中心描述为一个约化且 $\ell$-挠自由的有限型 $W(k)$-代数。
• 在特定情况下，以不变子环和对称多项式显式给出中心的表示，并将其作用与经典伯恩斯坦中心结构联系起来。

提出的方法

• 为 $\operatorname{Rep}_{W(k)}(\mathrm{GL}_n(F))$ 中的单对象引入模 $\ell$ 惯性超临界支持的新概念，将经典概念推广至整数表示。
• 利用向 $\overline{\mathcal{K}}$（即 $W(k)$ 的分式域的代数闭包）的基变换函子，将 $W(k)$-范畴与 $\overline{\mathcal{K}}$ 上的经典伯恩斯坦分解联系起来。
• 应用 $\overline{\mathcal{K}}$ 上中心的伯恩斯坦-德利涅描述，通过与基变换的相容性及整性条件，将结构上移至 $W(k)$。
• 将每个块的中心 $A_{[L,\pi]}$ 构造为若干类似赫克代数 $E_{\nu_j}$ 的张量积的子环，其定义基于韦尔群作用下的不变量。
• 运用 $G$-覆盖理论与抛物诱导的整模型分析中心的结构及其在单对象上的作用。
• 利用元素在韦尔群作用下的不变性及 cuspidal 理想的结构，在特定情况下推导出中心的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将伯恩斯坦分解从复表示推广到特征为 $\ell \neq p$ 的有限域的整数环 $W(k)$ 上的光滑表示？
• RQ2 光滑 $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-模范畴中每个块的中心结构是怎样的？它与 $\overline{\mathcal{K}}$ 上的经典伯恩斯坦中心有何关系？
• RQ3 在特定情况下（如 $\ell > m$ 或 $e_{q^f} \leq m < 2e_{q^f}$），中心能否以对称多项式或不变子环显式描述？
• RQ4 中心在块中单对象上的作用如何与特征零情形下的经典作用相联系？
• RQ5 模 $\ell$ 惯性超临界支持在分类块及其中心中起什么作用？

主要发现

• 光滑 $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-模的范畴分解为由超临界对 $(L,\pi)$ 的惯性等价类索引的块，推广了 $\mathbb{C}$ 上的伯恩斯坦分解。
• 每个块的中心 $A_{[L,\pi]}$ 是一个约化、$\ell$-挠自由、有限型 $W(k)$-代数。
• $A_{[L,\pi]}$ 的 $k$-点与该块中单对象可能的模 $\ell$ 惯性超临界支持之间存在双射。
• 当 $e_{q^f} > m$ 或 $\ell > m$ 且 $q^f \equiv 1 \pmod{\ell}$ 时，中心 $A_{[L,\pi]}$ 同构于 $W(k)$ 上 $m$ 个变量的对称多项式环，或其商环。
• 对于更复杂的分拆 $\nu$，中心描述为赫克代数 $E_{\nu_j}$ 的张量积关于某些 cuspidal 理想的商环，其生成元为 $\Theta_j$，关系式编码了韦尔群的不变性。
• 中心在块中单对象上的作用与 $\overline{\mathcal{K}}$ 上的经典伯恩斯坦中心作用相容，且中心可嵌入经典中心的基变换中。