[论文解读] The Birman-Murakami-Algebras Algebras of Type Dn

Arjeh M. Cohen, D. A. H. Gijsbers+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文证明了类型 $\mathrm{D}_n$ 的Birman–Murakami–Wenzl（BMW）代数在指定交换环 $R$ 上是自由的，其秩为 $(2^n + 1)n!! - (2^{n-1} + 1)n!$，且在与 $\mathbb{Q}(l,\delta)$ 张量后是半单的。此外，本文还确立了该代数在合适的环扩张上具有可胞性，并包含类型 $\mathrm{D}_n$ 的广义Temperley–Lieb代数作为自然子代数，从而完整地描述了球面对称的单连通类型BMW代数的代数与拓扑结构。

ABSTRACT

The Birman-Murakami-Wenzl algebra (BMW algebra) of type Dn is shown to be semisimple and free of rank (2^n+1)n!!-(2^(n-1)+1)n! over a specified commutative ring R, where n!! is the product of the first n odd integers. We also show it is a cellular algebra over suitable ring extensions of R. The Brauer algebra of type Dn is the image af an R-equivariant homomorphism and is also semisimple and free of the same rank, but over the polynomial ring Z with delta and its inverse adjoined. A rewrite system for the Brauer algebra is used in bounding the rank of the BMW algebra above. As a consequence of our results, the generalized Temperley-Lieb algebra of type Dn is a subalgebra of the BMW algebra of the same type.

研究动机与目标

• 证明类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数在指定交换环 $R$ 上的自由性与半单性。
• 在 $R$ 的合适环扩张上建立类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数的可胞性，推广已知的类型 $\mathrm{A}_n$ 的结果。
• 证明类型 $\mathrm{D}_n$ 的广义Temperley–Lieb代数是类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数与Brauer代数的自然子代数。
• 通过证明其与tangle代数 $\mathbf{KT}(\mathrm{D}_n)$ 的同构，完成对球面对称单连通类型BMW代数的代数与拓扑结构的完整描述。

提出的方法

• 通过Brauer代数的重写系统，将BMW代数的秩从上界进行控制。
• 利用特殊化与提升技术，将Brauer代数 $\mathrm{Br}(\mathrm{D}_n)$ 的单项式基提升为BMW代数 $\mathrm{B}(\mathrm{D}_n)$ 的候选基。
• 利用根集上的高度函数与 $W$-轨道序，为代数中的单项式定义标准代表元。
• 通过递归算法（算法9.2）构造高度最小的字 $A_{B,n}$，使其将空集映射到给定根集 $B$，从而确保基的良定义性。
• 通过构造由正交根集与Weyl群元素索引的可胞基，确立BMW代数的可胞性。
• 通过将可胞基与由Weyl群元素决定的水平与竖直线的辫图匹配，确认BMW代数与tangle代数 $\mathbf{KT}(\mathrm{D}_n)$ 的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在环 $R = \mathbb{Z}[\delta, \delta^{-1}, l, l^{-1}, m]/(m(1 - \delta) - (l - l^{-1}))$ 上，类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数的精确秩是多少？
• RQ2 当BMW代数类型 $\mathrm{D}_n$ 扩张到 $\mathbb{Q}(l, \delta)$ 时，是否为半单？
• RQ3 是否可在 $R$ 的合适扩张上赋予类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数可胞结构？
• RQ4 类型 $\mathrm{D}_n$ 的广义Temperley–Lieb代数是否自然地嵌入为同类型BMW代数的子代数？
• RQ5 类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数是否与tangle代数 $\mathbf{KT}(\mathrm{D}_n)$ 同构，如所猜想的那样？

主要发现

• 类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数在环 $R$ 上是自由的，其秩为 $(2^n + 1)n!! - (2^{n-1} + 1)n!$，该结果由定理1.1证明。
• 当与 $\mathbb{Q}(l, \delta)$ 张量后，类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数是半单的。
• 在任意包含 $1/2$ 的 $R$ 的整环扩张上，类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数是可胞的，如定理1.2所述。
• 类型 $\mathrm{D}_n$ 的广义Temperley–Lieb代数是Brauer代数与BMW代数的自然子代数，如推论1.3所示。
• 类型 $\mathrm{D}_n$ 的Brauer代数是BMW代数通过 $R$-等变同态的像，且在 $\mathbb{Z}[\delta^{\pm 1}]$ 上也是同秩的自由代数，从而确认了其结构。
• 类型 $\mathrm{D}_n$ 的BMW代数与tangle代数 $\mathbf{KT}(\mathrm{D}_n)$ 之间存在同构，且可胞基元素对应于由根集与Weyl群元素定义的辫图。