[论文解读] The C$^*$-envelope of a semicrossed product and nest representations

Justin R. Peters|ArXiv.org|Sep 19, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文证明了，当 $ X $ 为紧致豪斯多夫空间且 $ \varphi: X \to X $ 为连续满射时，半交叉积代数 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ 的 C*-包络同构于交叉积 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $，其中 $ (\tilde{X}, \tilde{\varphi}) $ 是 $ (X, \varphi) $ 的典型极小同胚扩张。结果表明，此类非自伴算子代数的 C*-包络总是交叉积，推广了关于自同构的已知结果。

ABSTRACT

Let $X$ be compact Hausdorff, and $ϕ: X o X$ a continuous surjection. Let $\mathcal{A}$ be the semicrossed product algebra corresponding to the relation $fU = Uf\circ ϕ$. Then the C$^*$-envelope of $\mathcal{A}$ is the crossed product of a commutative C$^*$-algebra which contains $C(X)$ as a subalgebra, with respect to a homeomorphism which we construct. We also show there are``sufficiently many'' nest representations.

研究动机与目标

• 确定半交叉积代数 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ 的 C*-包络何时同构于一个交叉积。
• 刻画紧致豪斯多夫空间 $ X $ 与连续满射 $ \varphi $ 下的半交叉积 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ 的 C*-包络。
• 证明 C*-包络可通过逆极限空间 $ \tilde{X} $ 与扩张同胚 $ \tilde{\varphi} $ 的交叉积实现。
• 确立嵌套表示足以计算半交叉积代数中的范数。

提出的方法

• 构造逆极限空间 $ \tilde{X} = \{ (x_1, x_2, \dots) \in \prod_{n=1}^\infty X \mid x_n = \varphi(x_{n+1}) \} $，其为紧致豪斯多夫空间。
• 通过坐标移位定义 $ \tilde{X} $ 上的同胚 $ \tilde{\varphi} $：$ \tilde{\varphi}(x_1, x_2, \dots) = (\varphi(x_1), x_1, x_2, \dots) $。
• 通过 $ C(X) $ 到 $ C(\tilde{X}) $ 的包含映射，将半交叉积 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ 完全等距嵌入交叉积 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $。
• 利用由 $ \cup_{k=0}^\infty \tilde{\alpha}^{-k}(C(X)) $ 生成的稠密 $ \tilde{\alpha}^{-k} $-不变子代数，证明半交叉积的像在交叉积中生成稠密子代数。
• 通过矛盾法，利用稠密子代数中元素的范数估计，证明从交叉积到 C*-包络的任意 $ \ast $-同态必为单射，因而为同构。
• 确立半交叉积中任一元素的范数等于其所有等距协变嵌套表示下像的范数的上确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \varphi $ 是紧致豪斯多夫空间 $ X $ 上的连续满射时，半交叉积 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ 的 C*-包络是否总是同构于一个交叉积？
• RQ2 半交叉积的 C*-包络能否被实现为一个交换 C*-代数与一个同胚的交叉积？
• RQ3 典型同胚扩张 $ (\tilde{X}, \tilde{\varphi}) $ 在实现 C*-包络中起什么作用？
• RQ4 嵌套表示是否足以计算半交叉积代数中的范数？
• RQ5 在何种动力系统条件下，半交叉积的 C*-包络是单的？

主要发现

• 半交叉积 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ 的 C*-包络同构于交叉积 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $，其中 $ \tilde{X} $ 为逆极限空间，$ \tilde{\varphi} $ 为移位映射。
• 嵌入 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ \hookrightarrow C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ 是完全等距的。
• 并集 $ \bigcup_{k=0}^\infty \tilde{\alpha}^{-k}(\mathcal{A}) $ 是 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ 的稠密子代数，其中 $ \mathcal{A} = C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $。
• 在 $ \mathcal{A} $ 中任一元素的范数等于其在所有等距协变嵌套表示下像的范数的上确界。
• 若 C*-包络 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ 是单的，则原半交叉积 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ 是半单的。
• C*-包络的单性等价于动力系统 $ (\tilde{X}, \tilde{\varphi}) $ 的极小性，而后者又等价于 $ (X, \varphi) $ 的极小性。