[论文解读] The Cahn--Hilliard--Darcy--Forchheimer system with surfactant: Existence and long-time behavior of global weak solutions

Maurizio Grasselli, Bohan Ouyang+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2026

Solidification and crystal growth phenomena被引用 0

一句话总结

论文为在有界多孔介质中，开发了含可溶性表面活性剂的两相不可压缩流体的扩散界面模型，并证明存在全局弱解。还表明随着时间趋于无穷，大多数全局弱解收敛到唯一平衡态。

ABSTRACT

We consider a diffuse-interface model for two-phase incompressible viscous flows with a soluble surfactant in a bounded porous medium. This hydrodynamic system consists of a Darcy--Forchheimer equation for the seepage velocity $\boldsymbol{u}$ coupled with two Cahn--Hilliard equations involving Flory--Huggins type singular potentials, one for the phase-field variable $ϕ$, the difference in volume fractions of the two fluids, and the other for the surfactant concentration $ψ$. We study the initial boundary value problem in two or three dimensions, with impermeability boundary conditions for $\boldsymbol{u}$ and homogeneous Neumann boundary conditions for $(ϕ, ψ)$ and their associated chemical potentials. First, we establish the existence of global weak solutions via an implicit-explicit time-discretization scheme based on the energy dissipation law. Furthermore, applying the seminal results of the first and third authors (arXiv:2510.17296), we prove that every weak solution satisfying an energy inequality converges to a single equilibrium as time tends to infinity. In sharp contrast with the available literature on similar models, in this case weak solutions are enough to guarantee the uniqueness of asymptotic limits, without the necessity of any further eventual regularization.

研究动机与目标

• 激发在多孔介质中含表面活性剂的两相流研究并为耦合体系建立严格的数学框架。
• 在带奇性势的Darcy–Forchheimer–Cahn–Hilliard–表面活性剂模型下证明全局弱解的存在性。
• 研究长时间行为并证明弱解收敛到单一平衡态。
• 在不使用正则化的情况下，应对非线性Forchheimer阻力和奇性自由能势所带来的分析挑战。

提出的方法

• 基于能量耗散定律的隐-显时间离散方案，用于构造全局弱解。
• 通过单调性与Minty技巧处理Forchheimer项以通过极限。
• 处理能量中的奇性Flory–Huggins型势和非局部Ohta–Kawasaki相互作用。
• 推导保持关键物理界限的离散一致性估计，以控制Cahn–Hilliard方程中的对流。
• 应用能量耗散方法获得长时间行为，而不依赖强正则性或正则化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2D或3D中，带奇性势的Darcy–Forchheimer–Cahn–Hilliard–表面活性剂系统是否存在全局弱解？
• RQ2 满足能量不等式的弱解是否随着时间趋向无穷收敛到单一平衡？
• RQ3 Forchheimer非线性如何影响极限过程和长时间动力学？
• RQ4 相场和表面活性剂变量的精确渐近态及其正则性如何？
• RQ5 在势和动力学参数的何种条件下，能量框架能在不额外正则化的情况下保证收敛？

主要发现

• 在所述假设下，耦合系统在二维和三维中存在全局弱解（定理2.1）。
• 弱解满足质量守恒及与模型一致的能量耗散恒等式（能量恒等式2.5）。
• 每个全局弱解随着时间趋于无穷收敛到单一平衡态（定理2.2）。
• 收敛性结论在不需要额外正则化或弱-强唯一性属性的情况下成立。
• 当α>0时，速度在L2范数上强烈衰减至零，ω极限集位于包含相场和表面活性剂分布的平衡集。
• 分析通过Minty技巧结合能量估计，兼容非退化动力学与Forchheimer阻力。