[论文解读] The categorical graph minor theorem

Dane Miyata, Nicholas Proudfoot+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入图子式范畴，并证明其在诺特环上的表示范畴是局部诺特的，从而对罗伯逊-塞缪尔图子式定理进行了范畴化。通过为带有取值于集合的函子的范畴发展广义格罗布纳理论，本文分析了该范畴上的边函子，并将该框架应用于建立图的无序配置空间同调群的有限生成性结果。

ABSTRACT

We define the graph minor category and prove that the category of contravariant representations of the graph minor category over a Noetherian ring is locally Noetherian. This can be regarded as a categorification of the Robertson--Seymour graph minor theorem. In addition, we generalize Sam and Snowden's Gröbner theory of categories to the setting of pairs consisting of a category along with a functor to sets, and we apply this theory to the edge functor on the graph minor category. As an application, we study homology groups of unordered configuration spaces of graphs, improving upon various finite generation results in this subject.

研究动机与目标

• 定义图子式范畴，并证明其在诺特环上的表示范畴是局部诺特的。
• 将萨姆和斯诺登的范畴格罗布纳理论推广至范畴与取值于集合的函子的配对。
• 将广义理论应用于图子式范畴上的边函子。
• 通过该框架推导出图的无序配置空间同调群的新有限生成性结果。

提出的方法

• 将图子式范畴定义为对象为有限图、态射为图子式操作的范畴。
• 证明该范畴在诺特环上的反变表示范畴是局部诺特的。
• 将格罗布纳理论推广至配备有到集合范畴的函子的范畴，从而实现对表示范畴的理想理论分析。
• 将广义理论应用于边函子，该函子将每张图映射到其边的集合。
• 利用表示范畴的诺特性，推导出无序配置空间同调群的有限生成性。
• 利用范畴结构，改进了此前在配置空间同调中已知的有限生成定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过范畴表示理论形式化并扩展罗伯逊-塞缪尔图子式定理？
• RQ2 诺特环上图子式范畴的反变表示范畴具有何种结构？
• RQ3 如何将格罗布纳理论推广至配备有到集合范畴的函子的范畴？
• RQ4 通过该范畴框架，无序配置空间的同调群的有限生成性特征是什么？
• RQ5 该框架能否得出强于或更一般的有限生成结果，相较于以往已知的结果？

主要发现

• 诺特环上图子式范畴的反变表示范畴是局部诺特的，从而为图子式定理提供了范畴化。
• 为配备有到集合范畴的函子的范畴发展了广义格罗布纳理论，扩展了萨姆和斯诺登的框架。
• 证明了图子式范畴上的边函子与该广义格罗布纳理论相容。
• 利用表示范畴的诺特性，确立了图的无序配置空间同调群的有限生成性。
• 该框架改进了该领域内现有的有限生成结果，提供了更系统、更具结构性的方法。
• 结果表明，图子式的范畴结构自然编码了同调不变量中的有限性条件。