[论文解读] The category of implicative algebras and realizability

Walter Ferrer, Octavio Malherbe|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过引入并分析蕴涵代数（IAs）和抽象克里普内结构（AKSes）范畴中的态射，建立了克里普内实现的范畴框架，证明了它们之间存在一个基本的伴随关系。主要贡献在于通过源自蕴涵代数及其闭包算子的函子，特别是通过“子弹”构造和闭包算子的亚历山德罗夫逼近，形式化了克里普内、施特赖歇尔和子弹三元组之间的等价性。

ABSTRACT

In this paper we continue with the algebraic study of Krivine's realizability, refining some of the authors' previous constructions by introducing two categories, with objects the abstract Krivine structures and the implicative algebras respectively. These categories are related by an adjunction whose existence clarifies many aspects of the theory previously established.

研究动机与目标

• 为了在蕴涵代数（IAs）和抽象克里普内结构（AKSes）的范畴中形式化态射，以支持实现的范畴处理。
• 在统一的范畴框架内，推广并完成早期构造——特别是“子弹”和 $A/K$ 构造。
• 通过展示它们可从蕴涵代数或蕴涵有序组合代数（IOCA）出发，以等价方式产生，澄清克里普内、施特赖歇尔和子弹三元组之间的等价性。
• 建立从 IAs 上的蕴涵余单子到 IAs 的右伴随函子 $V$，通过闭包算子的亚历山德罗夫逼近，推广“子弹”构造。
• 通过保序且本质满射的嵌入，证明在闭包算子作用下，一个 IAs 及其不动点子代数所关联的三元组是等价的。

提出的方法

• 引入两个范畴：$\mathbf{IAc}$ 和 $\mathbf{IA}$，其中对象为蕴涵代数，态射为计算稠密或应用映射。
• 为抽象克里普内结构定义类似的范畴 $\mathbf{AKSc}$ 和 $\mathbf{AKS}$，其态射保持应用结构。
• 构造函子 $A: \mathbf{AKS} \to \mathbf{IA}$ 和 $K: \mathbf{IA} \to \mathbf{AKS}$，将先前的 $A$ 和 $K$ 构造推广为函子。
• 在 $\mathbf{AKSc}$ 和 $\mathbf{IAc}$ 之间建立关键伴随关系，证明 $A \dashv K$，从而阐明 AKSes 与 IAs 之间的对偶性。
• 将“子弹”构造推广为函子 $V: \mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA}) \to \mathbf{IA}$，定义为蕴涵余单子的不动点函子，且满足 $T \dashv V$。
• 利用函子 $V$ 证明：在 IAs 及其 $\iota$-不动点子代数上构造的三元组是等价的，尤其针对双垂直闭包算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何正式定义蕴涵代数与抽象克里普内结构之间的态射，以支持实现的范畴处理？
• RQ2 蕴涵代数与抽象克里普内结构范畴之间的范畴关系是什么？它如何阐明三元组的构造？
• RQ3 能否通过范畴函子和闭包算子，重新解释并推广克里普内、施特赖歇尔和子弹三元组之间的等价性？
• RQ4 “子弹”构造如何推广为蕴涵余单子上的函子？它在关联不同代数上三元组的关系中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，蕴涵代数及其在闭包算子作用下的子代数所关联的三元组会变得等价？

主要发现

• 范畴 $\mathbf{AKSc}$ 和 $\mathbf{IAc}$ 通过伴随关系 $A \dashv K$ 相连，确立了抽象克里普内结构与蕴涵代数之间的正式对偶性。
• 与蕴涵代数 $\mathcal{A}$ 及其 $\iota$-不动点子代数 $\mathcal{A}_{\iota}$ 关联的三元组是等价的，这将“子弹”构造推广为范畴函子 $V$。
• 函子 $V: \mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA}) \to \mathbf{IA}$（定义为蕴涵余单子的不动点函子）是平凡余单子函子 $T$ 的右伴随，通过闭包算子的亚历山德罗夫逼近，推广了“子弹”算子。
• 对于任意 IOCA $\mathcal{B}$，三元组 $\mathbf{H}_{\mathcal{B}}$ 和 $\mathbf{H}_{A_{\perp}(K(\mathcal{B}))}$ 是等价的，其等价性由互逆映射 $f(P) = \bigwedge P$ 和 $g(a) = \uparrow a$ 所诱导。
• 对任意 $\mathcal{K} \in \mathbf{AKS}$，包含关系 $\mathbf{H}_{A_{\perp}(\mathcal{K})} \to \mathbf{H}_{A(\mathcal{K})}$ 诱导了三元组的等价性，证实了克里普内与施特赖歇尔三元组的统一。
• 从蕴涵代数或 IOCA 构造三元组的过程在同构下是不变的，如 $\mathbf{IOCA}$ 中可逆态射所诱导的等价性所示。