[论文解读] The category of $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds

Covolo, Tiffany, Grabowski, Janusz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 32

一句话总结

本文通过引入基于 $Χ_n^2$-gradings 和 Deligne 符号规则的广义超几何框架，建立了 $Χ_n^2$-超流形的基础理论。证明了超态射完全由其在坐标函数上的作用决定，并表明切丛与余切丛函子使 $Χ_n^2$-超流形的范畴封闭，且 n 重向量丛通过形式幂级数替代幂零性，可自然地超化为 $Χ_n^2$-超流形。

ABSTRACT

In Physics and in Mathematics $\mathbb{Z}_2^n$-gradings, $n>1$, appear in various fields. The corresponding sign rule is determined by the `scalar product' of the involved $\mathbb{Z}_2^n$-degrees. The $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry exhibits challenging differences with the classical one: nonzero degree even coordinates are not nilpotent, and even (resp., odd) coordinates do not necessarily commute (resp., anticommute) pairwise. In this article we develop the foundations of the theory: we define $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds and provide examples in the ringed space and coordinate settings. We thus show that formal series are the appropriate substitute for nilpotency. Moreover, the class of $\mathbb{Z}_2^\bullet$-supermanifolds is closed with respect to the tangent and cotangent functors. We explain that any $n$-fold vector bundle has a canonical `superization' to a $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifold and prove that the fundamental theorem describing supermorphisms in terms of coordinates can be extended to the $\mathbb{Z}_2^n$-context.

研究动机与目标

• 为 $Χ_n^2$-超流形建立超越经典超几何的严格几何框架。
• 解决高阶超几何中的基础问题，特别是缺乏幂零性与非标准交换规则的问题。
• 证明超态射完全由其坐标函数的拉回决定，将经典基本定理推广至 $Χ_n^2$-情境。
• 表明 $Χ_n^2$-超流形的范畴在切丛与余切丛函子下封闭。
• 建立 n 重向量丛的自然超化为 $Χ_n^2$-超流形，提供高阶超几何的自然几何模型。

提出的方法

• 通过具有 $Χ_n^2$-阶函数代数的环化空间与坐标图定义 $Χ_n^2$-超流形。
• 在非零次数的偶坐标中，使用形式幂级数替代幂零性。
• 实施 Deligne 的符号规则：对于 $Χ_n^2$-次数为 $(m_1,\dots,m_n)$ 与 $(k_1,\dots,k_n)$ 的齐次元素，有 $AB = (-1)^{\sum_{i=1}^n m_i k_i} BA$。
• 证明函数代数上 $\mathfrak{m}$-进拓扑下的截面拉回是连续的。
• 通过局部坐标中的泰勒展开，构造函数芽的多项式逼近。
• 通过函数代数的连续性与完备性，证明任意 $Χ_n^2$-态射完全由其在坐标函数上的拉回唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 当偶坐标不具有幂零性且交换规则被推广时，如何构建一致的 $Χ_n^2$-超流形几何理论？
• RQ2 经典超态射基本定理能否推广至 $Χ_n^2$-情境，即态射是否由其坐标拉回决定？
• RQ3 $Χ_n^2$-超流形的范畴是否在切丛与余切丛函子下封闭，这与向量丛的自然超化有何关联？
• RQ4 形式幂级数在 $Χ_n^2$-超几何中替代幂零性的角色是什么，这对函数代数的结构有何影响？
• RQ5 n 重向量丛如何通过自然超化过程自然地导出 $Χ_n^2$-超流形？

主要发现

• $Χ_n^2$-超流形的范畴在切丛与余切丛函子下封闭，且 $TM$ 的函数代数是按 Deligne 符号规则完成的微分超形式代数。
• 任意以 $Χ_n^2$-超域为靶的 $Χ_n^2$-态射，完全由其坐标函数的拉回唯一确定，推广了经典基本定理。
• $Χ_n^2$-超流形的函数代数是形式变量多项式代数的完成，以 $\mathfrak{m}$-进拓扑中的收敛性替代幂零性。
• 经典 $\mathbb{Z}_2$-超流形 $M$ 的切丛 $T[1]M$ 自然地成为 $Χ_2^2$-超流形，其函数代数同构于伪微分形式代数。
• 任意 n 重向量丛的超化过程均自然地给出一个 $Χ_n^2$-超流形，为高阶超几何提供了自然的几何模型。
• $\u03a7_n^2$-Berezinian 及其相关高阶迹，对经典 Berezinian 提供了非平凡的推广，解决了四元数矩阵的 Cayley 挑战。