[论文解读] The coalescent point process of branching trees

Amaury Lambert, Lea Popovic|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文引入了一种用于一般分支过程的具有重数的共祖点过程，通过Bienaymé–Galton–Watson树的单调平面嵌入来表示谱系关系。该文证明了具有重数的共祖过程是点测度的马尔可夫过程，并建立了不变原理，显示其在适当缩放下收敛于与连续状态分支过程相关的极限过程，且在线性分式情形下给出了显式转移函数和独立同分布的分支长度。

ABSTRACT

We define a doubly infinite, monotone labeling of Bienayme-Galton-Watson (BGW) genealogies. The genealogy of the current generation backwards in time is uniquely determined by the coalescent point process $(A_i; i\ge 1)$, where $A_i$ is the coalescence time between individuals i and i+1. There is a Markov process of point measures $(B_i; i\ge 1)$ keeping track of more ancestral relationships, such that $A_i$ is also the first point mass of $B_i$. This process of point measures is also closely related to an inhomogeneous spine decomposition of the lineage of the first surviving particle in generation h in a planar BGW tree conditioned to survive h generations. The decomposition involves a point measure $ ho$ storing the number of subtrees on the right-hand side of the spine. Under appropriate conditions, we prove convergence of this point measure to a point measure on $\mathbb{R}_+$ associated with the limiting continuous-state branching (CSB) process. We prove the associated invariance principle for the coalescent point process, after we discretize the limiting CSB population by considering only points with coalescence times greater than $\varepsilon$.

研究动机与目标

• 为包括离散和连续状态分支过程在内的广义分支过程定义一种一致且有限抽样的共祖点过程。
• 通过引入追踪祖先关系重数的点测度的马尔可夫过程，克服标准共祖过程在分支种群中非马尔可夫性的缺陷。
• 建立共祖点过程与连续状态分支过程的高程过程之间的联系，特别是通过波动深度。
• 在离散化后证明共祖过程的不变原理，显示其收敛于与CSB过程相关的极限点过程。
• 推导具有重数的共祖过程的转移函数显式公式，并在特殊情形（如线性分式后代分布）下刻画其分布规律。

提出的方法

• 使用Bienaymé–Galton–Watson树的双重无限单调平面嵌入，按世代和索引标记个体，确保祖先路径不相交。
• 将共祖点过程 (Ai; i ≥ 1) 定义为现生代（第0代）中连续个体之间共祖时间的序列，其中 Ai 表示个体 i 与 i+1 的最近共同祖先的时间。
• 引入点测度的马尔可夫过程 (Bi; i ≥ 1)，其中每个 Bi 通过点质量记录个体 i+1 的嵌套祖先谱系，指示脊柱上子树的深度与重数。
• 依赖于平面BGW树中首存活粒子的谱线的非齐次谱分解，其中点测度 ρ 跟踪右侧子树。
• 通过仅考虑大于 ε 的共祖时间进行离散化，得到极限过程 (Bεi; i ≥ 1)，其对应于高程过程在固定水平以下的波动中深度大于 ε 的部分。
• 利用马尔可夫链 (Di; i ≥ 1) 的转移概率推导共祖过程的分布，特别是在线性分式情形下，通过条件化于首次通过时间 Ai = h。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为广义分支过程定义一种一致且有限抽样的共祖过程，以捕捉具有重数的谱系关系？
• RQ2 具有重数的共祖点过程 (Bi; i ≥ 1) 是否为马尔可夫过程？若是，其转移函数能否显式刻画？
• RQ3 在适当缩放下，共祖过程是否收敛于与连续状态分支过程相关的极限过程？
• RQ4 在线性分式后代分布情形下，共祖时间 (Ai; i ≥ 1) 的分布为何？它们是否独立同分布？
• RQ5 整个种群的最近共同祖先时间与亚临界分支过程中的Yaglom拟平稳分布有何关系？

主要发现

• 在线性分式后代分布参数为 (a,b) 的情形下，共祖分支长度 (Ai; i ≥ 1) 为独立同分布，当 a ≠ b 时，P(A1 > n) = (b − a)/(b m^n − a)；当 a = b 时，P(A1 > n) = (1 − a)/(n a + 1 − a)。
• 对于 ε > 0，极限共祖点过程 (Bεi; i ≥ 1) 是点质量的马尔可夫链，其显式转移函数由谱分解与高程过程波动的深度导出。
• 整个种群最近共同祖先时间 U 的分布服从Yaglom拟平稳分布，且 (U, V) 的联合分布被刻画，其中 V 为子种群在 U 时刻的共祖时间。
• 条件于 V = n ≥ 1，与第一个个体共享共同祖先的子种群大小 U 的分布为 Zn 条件于 ζn ≥ 2，且Yaglom分布的生成函数满足 a(s) = P(V = 0)s + Σn≥1 P(V = n) E(sZn | ζn ≥ 2)。
• 在亚临界线性分式情形（a > b）下，Yaglom分布为成功概率为 b/a 的几何分布，且 P(Ai = ∞) = 1 − b/a，与 U 为首个满足 Ai = ∞ 的 i 一致。
• 具有重数的共祖过程 (Bi; i ≥ 1) 为马尔可夫过程，其转移函数可由追踪祖先谱系计数的底层马尔可夫链 (Di; i ≥ 1) 的转移概率显式导出。