[论文解读] The Complexity of Games on Higher Order Pushdown Automata

Thierry Cachat, Igor Walukiewicz|arXiv (Cornell University)|May 2, 2007

Formal Methods in Verification参考文献 9被引用 26

一句话总结

本文建立了n阶下推自动机（HPDA）上可达性游戏的n-exptime下界，与该模型上parity游戏已知的上界相匹配。关键贡献在于证明了n-HPDA上的可达性与parity游戏均为n-exptime完全，这意味着n-HPDA图上的μ-微积分模型检测问题也是n-exptime完全，从而确定了这些基础决策问题的复杂度。

ABSTRACT

We prove an n-EXPTIME lower bound for the problem of deciding the winner in a reachability game on Higher Order Pushdown Automata (HPDA) of level n. This bound matches the known upper bound for parity games on HPDA. As a consequence the mu-calculus model checking over graphs given by n-HPDA is n-EXPTIME complete.

研究动机与目标

• 通过为可达性游戏建立紧致的下界，填补高阶下推自动机上游戏复杂度的差距。
• 证明在n-HPDA上求解可达性游戏的复杂度与已知的n-exptime上界一致，从而实现复杂度完全性。
• 将该结果扩展至parity游戏与μ-微积分模型检测，证明这些问题的n-exptime完全性。
• 展示HPDA在模拟具有指数空间的交替图灵机方面的表达能力，通过嵌套计数器与存储复制机制实现。
• 提出一种基于将交替exp-space图灵机配置编码至HPDA存储的自包含证明技术。

提出的方法

• 作者将交替exp-space图灵机的接受问题归约为2-HPDA上的可达性游戏，采用基于游戏的配置与转移规则编码方法。
• 设计了一种博弈结构：玩家0必须写出图灵机的配置，玩家1可通过使用嵌套计数器与存储复制技术来检验转移的一致性以发起挑战。
• 该构造使用计数器的分层结构：1-计数器用于单个符号，2-计数器用于配置，更高级的存储用于模拟更高阶的下推操作。
• 关键技术包括将存储的某部分复制到不同层级，利用压栈与弹栈操作比较配置并验证转移的正确性。
• 只有当玩家0能在不被发现违规的情况下写出一个接受配置时，游戏才由玩家0获胜，这对应于图灵机的一个有效接受计算路径。
• 通过扩展计数器分层结构，将该构造推广至k-HPDA，证明k-HPDA可模拟交替k-exp-space图灵机。

实验结果

研究问题

• RQ1 n-HPDA上的可达性游戏复杂度是否严格为n-exptime完全？
• RQ2 高阶下推自动机能否模拟具有指数空间的交替图灵机？
• RQ3 n-HPDA上parity游戏的复杂度是否与可达性游戏一致？
• RQ4 能否证明n-HPDA图上的μ-微积分模型检测问题为n-exptime完全？
• RQ5 使用高阶下推系统模拟交替exp-space机器所需的最小表达能力为何？

主要发现

• n-HPDA上的可达性游戏为n-exptime难，与已知的n-exptime上界匹配，从而确立了n-exptime完全性。
• 该复杂度同样适用于n-HPDA上的parity游戏，证实即使是最简单的博弈类型也与最一般的问题一样困难。
• n-HPDA图上μ-微积分模型检测问题为n-exptime完全，从而确定了这一基础验证问题的精确复杂度。
• 该构造提供了从交替exp-space图灵机接受问题到2-HPDA上可达性游戏的多项式时间归约。
• 使用嵌套计数器与存储复制的证明技术，展示了HPDA在模拟复杂计算过程方面的表达能力。
• 结果表明HPDA层次结构是严格的，作为完全性结果的推论，Caucal图层次结构也是严格的。