[论文解读] The Complexity of Manipulating $k$-Approval Elections

Andrew Lin|arXiv (Cornell University)|May 23, 2010

Game Theory and Voting Systems参考文献 4被引用 24

一句话总结

本文研究了 $k$-approval 和 $k$-veto 选举的计算复杂性，表明在某些情况下操纵是多项式时间可解的，而在其他情况下则是 NP-难的，并且在特定设置下等价于图论问题如 $b$-Edge Cover。主要贡献在于对具有无界候选人数的无穷多个计分规则中的操纵复杂性进行了分类，揭示了其与图论的联系，并指出了 3-approval 和 3-veto 系统中的开放问题。

ABSTRACT

An important problem in computational social choice theory is the complexity of undesirable behavior among agents, such as control, manipulation, and bribery in election systems. These kinds of voting strategies are often tempting at the individual level but disastrous for the agents as a whole. Creating election systems where the determination of such strategies is difficult is thus an important goal. An interesting set of elections is that of scoring protocols. Previous work in this area has demonstrated the complexity of misuse in cases involving a fixed number of candidates, and of specific election systems on unbounded number of candidates such as Borda. In contrast, we take the first step in generalizing the results of computational complexity of election misuse to cases of infinitely many scoring protocols on an unbounded number of candidates. Interesting families of systems include $k$-approval and $k$-veto elections, in which voters distinguish $k$ candidates from the candidate set. Our main result is to partition the problems of these families based on their complexity. We do so by showing they are polynomial-time computable, NP-hard, or polynomial-time equivalent to another problem of interest. We also demonstrate a surprising connection between manipulation in election systems and some graph theory problems.

研究动机与目标

• 分析在无界候选人数下，$k$-approval 和 $k$-veto 选举的操纵计算复杂性。
• 根据计算难度对操纵问题进行分类：多项式时间可解、NP-难，或等价于已知的难解问题。
• 建立选举操纵与图论问题（尤其是 $b$-Edge Cover 变体）之间的联系。
• 识别 $k$-approval 和 $k$-veto 系统中操纵复杂性的开放问题，特别是针对 $k=3$ 的情况。
• 将先前关于计分规则中控制与操纵结果的研究扩展到更广泛的无穷多个系统类别。

提出的方法

• 本文通过从已知的 NP-难问题（如集合覆盖和命中集）进行归约，证明了 $k$-approval 和 $k$-veto 选举中操纵的 NP-难性。
• 在某些情况下，使用贪心算法求解操纵问题，特别是当通过添加或删除权重最大的选票来使首选候选人获胜时。
• 作者建立了操纵问题与 $b$-Edge Cover 变体之间的多项式时间等价性，尤其在无权和无价格设置下。
• 对于加权情况，本文指出在多重图中 $b$-Edge Cover 变体的复杂性仍为开放问题，提示可通过线性规划实现多项式时间可解性。
• 分析包括通过添加或删除选民进行构造性控制，针对加权选票和候选人主导性提供了具体算法。
• 理论性地建立了操纵与图论问题之间的联系，其中 $b$-Edge Cover 框架被用于建模选票添加或删除的策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $k \geq 3$ 的 $k$-approval 选举，操纵的计算复杂性是什么？
• RQ2 在 $k$-veto 选举中，操纵的复杂性如何随 $k$ 变化？
• RQ3 $k$-approval 和 $k$-veto 系统中的操纵能否约化为已知的图论问题，如 $b$-Edge Cover？
• RQ4 为何 3-approval 和 3-veto 系统在操纵复杂性分析中特别具有挑战性？
• RQ5 3-vedo 选举中的贿赂复杂性是什么？为何其抵抗标准的归约技术？

主要发现

• 对于 $k \geq 4$ 的加权 $k$-approval 选举以及 $k \geq 3$ 的 $k$-veto 选举，通过添加选民进行控制在计算上具有抗性，即该问题为 NP-难。
• 对于 $k \geq 3$ 的加权 $k$-approval 选举以及 $k \geq 4$ 的 $k$-veto 选举，通过删除选民进行控制在计算上具有抗性，表明其为 NP-难。
• 当仅通过贪心策略添加或删除权重最大的选票即可使某候选人获胜时，$k$-approval 和 $k$-veto 系统中的操纵是多项式时间可解的。
• 在 $k$-approval 和 $k$-veto 选举中，操纵问题与 $b$-Edge Cover 的某些变体在多项式时间内等价，尤其在无权和无价格情况下。
• 通过命中集归约表明，涉及候选人群组的操纵本质上是困难的，从而确立了此类配置的 NP-难性。
• 尚有三个开放问题：3-approval 中通过添加选民进行控制、3-veto 中通过删除选民进行控制，以及 3-veto 选举中的贿赂问题，因其与标准 $b$-Edge Cover 模型不兼容而难以解决。