[论文解读] The Complexity of Multi-Mean-Payoff and Multi-Energy Games

Yaron Velner, Krishnendu Chatterjee+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文確立了多平均獎勵與多資源消耗遊戲在多項式策略下的計算複雜度，證明有限記憶策略對兩類遊戲均為 coNP-完全，解決了先前已知的 EXPSPACE 上界與無下界之間的長期差距。此外，本文進一步顯示在特定多平均獎勵遊戲中，玩家 2 使用無記憶策略已足夠，並為無限記憶策略提供了最佳複雜度界，包括平均獎勵-上確界目標的 NP ∩ coNP，以及平均獎勵-下確界目標的 coNP-完全。

ABSTRACT

In mean-payoff games, the objective of the protagonist is to ensure that the limit average of an infinite sequence of numeric weights is nonnegative. In energy games, the objective is to ensure that the running sum of weights is always nonnegative. Multi-mean-payoff and multi-energy games replace individual weights by tuples, and the limit average (resp. running sum) of each coordinate must be (resp. remain) nonnegative. These games have applications in the synthesis of resource-bounded processes with multiple resources. We prove the finite-memory determinacy of multi-energy games and show the inter-reducibility of multimean-payoff and multi-energy games for finite-memory strategies. We also improve the computational complexity for solving both classes of games with finite-memory strategies: while the previously best known upper bound was EXPSPACE, and no lower bound was known, we give an optimal coNP-complete bound. For memoryless strategies, we show that the problem of deciding the existence of a winning strategy for the protagonist is NP-complete. Finally we present the first solution of multi-meanpayoff games with infinite-memory strategies. We show that multi-mean-payoff games with mean-payoff-sup objectives can be decided in NP and coNP, whereas multi-mean-payoff games with mean-payoff-inf objectives are coNP-complete.

研究动机与目标

• 解決有限記憶策略下多平均獎勵與多資源消耗遊戲的計算複雜度，此前的界限為 EXPSPACE，但無已知下界。
• 建立多資源消耗遊戲的有限記憶決定性，並在有限記憶策略下證明多平均獎勵與多資源消耗遊戲之間的互歸約性。
• 確定在無記憶與無限記憶策略下解決這些遊戲的複雜度，特別是涉及下確界與上確界平均獎勵條件的混合目標。
• 為有限記憶與無限記憶策略類別提供最佳複雜度界，包括 NP ∩ coNP 與 coNP-完全性結果。
• 透過形式化多約束下平均與累積資源使用之多目標量化遊戲，支援資源受限反應系統的合成。

提出的方法

• 透過博弈論與結構分析，證明多資源消耗遊戲的有限記憶決定性，並在有限記憶策略下建立多資源消耗遊戲與多平均獎勵遊戲之間的互歸約性。
• 使用圖形上的歸納構造與吸引子分解，證明在平均獎勵-下確界-上確界目標中，玩家 2 存在無記憶獲勝策略。
• 將複雜的多目標條件簡化為較簡單目標（如平均獎勵-下確界與平均獎勵-上確界）的合取，進而使單人遊戲中可進行多項式時間驗證。
• 利用單目標平均獎勵遊戲的結果（如平均獎勵-下確界可多項式時間求解）透過歸約建立 coNP 上界。
• 應用博弈分解技術與無記憶策略構造，證明獲勝區域可透過有限狀態自動機與吸引子計算得出。
• 使用邏輯與結構歸約，顯示在無限記憶策略下解決多平均獎勵遊戲的問題屬於 NP ∩ coNP（上確界目標），且在下確界目標下為 coNP-完全。

实验结果

研究问题

• RQ1 以有限記憶策略解決多資源消耗遊戲的精確計算複雜度為何？
• RQ2 在有限記憶策略下，多平均獎勵與多資源消耗遊戲是否可互歸約？
• RQ3 在混合下確界與上確界目標的多平均獎勵遊戲中，玩家 2 是否僅需無記憶策略即可獲勝？
• RQ4 在無限記憶策略下解決多平均獎勵遊戲的複雜度為何，特別是針對平均獎勵-下確界與平均獎勵-上確界目標？
• RQ5 有限記憶決定性是否意味著在多資源消耗與多平均獎勵遊戲中，任意策略下亦具決定性？

主要发现

• 以有限記憶策略解決多資源消耗與多平均獎勵遊戲的複雜度為 coNP-完全，彙整了先前已知的 EXPSPACE 上界與無下界之間的差距。
• 在有限記憶策略下，多資源消耗與多平均獎勵遊戲可互歸約，確立了此策略類別下計算複雜度的等價性。
• 對於無記憶策略，兩類遊戲的決策問題均為 NP-完全，確認在此受限設定下具有可適性。
• 在平均獎勵-上確界目標下，多平均獎勵遊戲的無限記憶策略可判定於 NP ∩ coNP，且若單目標平均獎勵遊戲屬於 P，則問題屬於 P。
• 具有平均獎勵-下確界目標的多平均獎勵遊戲為 coNP-完全，且平均獎勵-下確界與平均獎勵-上確界目標的組合亦為 coNP-完全。
• 多資源消耗遊戲具備有限記憶決定性，且與任意策略下的決定性一致；但多平均獎勵遊戲則不然，其決定性在不同策略類別間有所不同。