[论文解读] The complexity of perfect matchings and packings in dense hypergraphs

Jie Han, Andrew Treglown|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 40被引用 7

一句话总结

本文提出一个通用的结构定理（定理3.1），识别出在其中完美 $F$-打包决策问题为多项式时间可解的超图类。该工具被应用于建立在最小 $σ$-度条件下的完美匹配检测的多项式时间算法、在最小度条件下的图中完美 $F$-打包的多项式时间算法，以及在 $k$-图中完美 $K$-打包的多项式时间算法，解决了Keevash、Knox与Mycroft的猜想，并以反例回答了Yuster提出的问题，且通过在条件减弱时的NP-完全性证明了紧致性。

ABSTRACT

Given two $k$-graphs $H$ and $F$, a perfect $F$-packing in $H$ is a collection of vertex-disjoint copies of $F$ in $H$ which together cover all the vertices in $H$. In the case when $F$ is a single edge, a perfect $F$-packing is simply a perfect matching. For a given fixed $F$, it is often the case that the decision problem whether an $n$-vertex $k$-graph $H$ contains a perfect $F$-packing is NP-complete. Indeed, if $k \geq 3$, the corresponding problem for perfect matchings is NP-complete whilst if $k=2$ the problem is NP-complete in the case when $F$ has a component consisting of at least $3$ vertices. In this paper we give a general tool which can be used to determine classes of (hyper)graphs for which the corresponding decision problem for perfect $F$-packings is polynomial time solvable. We then give three applications of this tool: (i) Given $1\leq \ell \leq k-1$, we give a minimum $\ell$-degree condition for which it is polynomial time solvable to determine whether a $k$-graph satisfying this condition has a perfect matching; (ii) Given any graph $F$ we give a minimum degree condition for which it is polynomial time solvable to determine whether a graph satisfying this condition has a perfect $F$-packing; (iii) We also prove a similar result for perfect $K$-packings in $k$-graphs where $K$ is a $k$-partite $k$-graph. For a range of values of $\ell,k$ (i) resolves a conjecture of Keevash, Knox and Mycroft whilst (ii) answers a question of Yuster in the negative. In many cases our results are best possible in the sense that lowering the minimum degree condition means that the corresponding decision problem becomes NP-complete.

研究动机与目标

• 开发一种通用的结构工具，以识别完美 $F$-打包决策问题为多项式时间可解的超图类。
• 解决Keevash、Knox与Mycroft关于 $k$-图中完美匹配的最小 $σ$-度条件的猜想。
• 回答Yuster关于在最小度条件下图中完美 $F$-打包多项式时间算法存在的问题。
• 建立在何种最小度条件下，完美打包决策问题从多项式时间转变为NP-完全。

提出的方法

• 引入定理3.1，即一个通用的结构定理，基于划分与闭包性质，刻画出可实现完美 $F$-打包的 $k$-图。
• 利用 $(F,\alpha,1)$-可达性与 $F$-闭集的概念，分析邻域结构与度条件。
• 应用正规化方法与超图正规化，将问题约化为测试有界大小的陪集群 $Q$ 的可解性。
• 利用当最小度条件超过阈值 $\sigma(F)$ 时，划分类的数量与陪集群 $Q$ 的大小有界的事实。
• 通过双重计数与度和论证，证明任意 $m+1$ 个顶点中存在一对是 $(F,\alpha,1)$-可达的，从而通过引理6.3实现划分。
• 构造一个 $(F,\beta,2^{m-1},1/m)$-良好划分，并应用定理3.1将决策问题约化为测试有界大小系统的 $q$-可解性，该问题可在多项式时间内计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最小 $σ$-度条件下，$k$-图中完美匹配的决策问题为多项式时间可解？
• RQ2 能否为任意固定的图 $F$，构造一个多项式时间算法以检测在最小度条件下的图中完美 $F$-打包？
• RQ3 $k$-图中是否存在一个最小共度条件，可保证当 $K$ 为 $k$-部图时，完美 $K$-打包的决策问题为多项式时间可解？
• RQ4 完美 $F$-打包决策问题的多项式时间可解性阈值是否与猜想的极值阈值一致，还是严格更高？
• RQ5 当最小度条件低于结构定理所识别的阈值时，决策问题的复杂性如何变化？

主要发现

• 本文建立了在最小 $σ$-度条件下检测 $k$-图中完美 $F$-打包的多项式时间算法，解决了Keevash、Knox与Mycroft对 $\ell \geq 0.42k$ 的猜想。
• 证明了对于任意固定的图 $F$，存在一个最小度阈值，使得图中完美 $F$-打包的决策问题为多项式时间可解，从而以反例回答了Yuster的问题。
• 该算法的时间复杂度为 $O(n^{m(2m-1)^m})$，其中 $m$ 是 $F$ 中的顶点数，其依赖于将顶点集划分为至多 $m$ 个类，并测试有界大小系统的可解性。
• 该方法表明，当最小度超过 $\sigma(F)$ 时，划分类的数量与陪集群 $Q$ 的大小有界，从而实现高效的决策。
• 结果在紧致性意义上为最优：降低最小度条件将使决策问题变为NP-完全，证实了阈值的紧致性。
• 结构定理（定理3.1）提供了一个通用框架，可应用于除文中提出的三个具体应用之外的其他超图类。