[论文解读] The Complexity of Stoquastic Local Hamiltonian Problems

Sergey Bravyi, David P. DiVincenzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 14

一句话总结

本论文研究了在计算基下具有非正非对角矩阵元的泡利型哈密顿量（即泡利型哈密顿量）的局部哈密顿量问题（LH-MIN）的计算复杂性。结果表明，2-局部泡利型LH-MIN是MA完全问题，而一般泡利型LH-MIN问题属于AM复杂性类；在多项式谱隙假设下，其进一步属于PostBPP，这意味着泡利型哈密顿量的绝热量子计算可在PostBPP中模拟。

ABSTRACT

We study the complexity of the Local Hamiltonian Problem (denoted as LH-MIN) in the special case when a Hamiltonian obeys conditions of the Perron-Frobenius theorem: all off-diagonal matrix elements in the standard basis are real and non-positive. We will call such Hamiltonians, which are common in the natural world, stoquastic. An equivalent characterization of stoquastic Hamiltonians is that they have an entry-wise non-negative Gibbs density matrix for any temperature. We prove that LH-MIN for stoquastic Hamiltonians belongs to the complexity class AM -- a probabilistic version of NP with two rounds of communication between the prover and the verifier. We also show that 2-local stoquastic LH-MIN is hard for the class MA. With the additional promise of having a polynomial spectral gap, we show that stoquastic LH-MIN belongs to the class POSTBPP=BPPpath -- a generalization of BPP in which a post-selective readout is allowed. This last result also shows that any problem solved by adiabatic quantum computation using stoquastic Hamiltonians lies in PostBPP.

研究动机与目标

• 理解泡利型哈密顿量的局部哈密顿量问题（LH-MIN）的计算复杂性，这类哈密顿量在物理系统中常见，且在计算基下具有非正的非对角矩阵元。
• 确定泡利型LH-MIN是否存在高效的经典或量子证明协议，特别是考虑到非负吉布斯矩阵可能带来的经典模拟潜力。
• 刻画泡利型LH-MIN所属的复杂性类，特别是在额外结构假设（如多项式谱隙）下的情况。
• 探讨对绝热量子计算的影响，表明泡利型绝热演化包含于PostBPP中。

提出的方法

• 作者将泡利型哈密顿量定义为在计算基下具有实数且非正的非对角矩阵元的哈密顿量，这表明在所有逆温度下，其吉布斯密度矩阵的矩阵元均为非负。
• 通过线性代数方法证明，此类哈密顿量的基态在计算基下具有非负实系数，从而可通过计算基态上的概率分布实现概率解释。
• 证明技术通过利用非负基态和高效采样能力，构建了一个两轮交互式证明系统（AM）。
• 对于PostBPP结果，假设存在多项式谱隙，并利用后选择技术，通过经典概率计算模拟基态能量估计。
• 采用微扰理论和自能展开分析一个三量子比特装置，证明高阶修正项有界，不会破坏主要复杂性结论。
• 通过非确定性图灵机和路径计数的归约与模拟，建立复杂性类包含关系，表明所识别的语言属于PostBPP。

实验结果

研究问题

• RQ1 泡利型哈密顿量的局部哈密顿量问题是否属于允许高效经典证明协议的复杂性类？
• RQ2 泡利型哈密顿量的基态是否可用于定义概率分布，从而实现基态能量的经典模拟？
• RQ3 若存在多项式谱隙，泡利型LH-MIN问题是否可被PostBPP求解（PostBPP是BPP在后选择下的推广）？
• RQ4 2-局部泡利型LH-MIN是否为MA完全问题，表明一般情况下量子证明是必要且充分的？
• RQ5 使用泡利型哈密顿量的绝热量子计算是否可被高效经典模拟？若是，其属于哪个复杂性类？

主要发现

• 一般泡利型局部哈密顿量问题（LH-MIN）包含于复杂性类AM中，表明存在一个两轮经典交互式证明系统，且通信量为常数。
• 2-局部泡利型LH-MIN是MA完全问题，表明该子类的量子证明是必要且充分的。
• 在多项式谱隙假设下，泡利型LH-MIN属于PostBPP = BPPpath，意味着该问题可通过带后选择的经典概率计算求解。
• 任何泡利型哈密顿量的基态在计算基下均具有非负实系数，从而可直接实现概率解释，并通过采样估计基态能量。
• 使用泡利型哈密顿量的绝热量子计算可在PostBPP中模拟，意味着此类量子算法在经典后选择计算能力下不提供量子优势。
• 三量子比特装置中有效哈密顿量的高阶微扰修正项有界，其范数为O(δ)（δ较小），不会破坏复杂性分类。